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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} c + b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 3$ ， $c = 5$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点，且__________，求 $A D$ 的长.
在① $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；② $B D = D C$ ；③ $A D ⊥ B C$ 这三个条件中任选一个，补充到题干中的横线位置，并作答.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ A B$ ， $A C = A B = C C_{1} = 1$ ， $E$ 是线段 $A B$ 的中点，在 $△ A_{1} B C$ 内有一动点 $P$ （包括边界），则 $|\vec{P A}| + |\vec{P E}|$ 的最小值是

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3、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $P$ 为正方体内一点，若 $A P = C P$ ， $A_{1} P = \sqrt{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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4、古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k (k > 0$ 且 $k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知点 $A (2, 0), B (0, 4)$ ，若圆 $C : {(x + \frac{3}{4})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上不存在点 $P$ 满足 $| P B | = 3 | P A |$ ，则 $r$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 5 - \frac{3 \sqrt{5}}{4}) \cup (5 - \frac{3 \sqrt{5}}{4}, + \infty)$ B、 $(0, 5 + \frac{3 \sqrt{5}}{4})$ C、 $(0, 5 - \frac{3 \sqrt{5}}{4}) \cup (5 + \frac{3 \sqrt{5}}{4}, + \infty)$ D、 $(5 - \frac{3 \sqrt{5}}{4}, 5 + \frac{3 \sqrt{5}}{4})$

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5、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， $A D ⊥ P A$ ， $B C ⊥ P B$ ， $P B = B C$ ， $P A = A B$ ， M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面 $P C D ⊥$ 平面AMN，则 $\frac{P N}{N C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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6、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是 $A D$ 的中点，N是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $D_{1} M$ 与 $D N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7、已知点A，B分别是直线 $l_{1} : 2 x + y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 4 x + 2 y + 1 = 0$ 上的点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、0 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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8、直线 $x - \sqrt{3} y + 2025 = 0$ 的倾斜角为（）．

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9、已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内，且对于平面 $A B C$ 外一点 $O$ ，满足 $\vec{O M} = λ \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{12}$

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10、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且过点 $A (- 2, 0)$ ，直线 $l$ 与椭圆交于 $P$ ， $Q$ 两点且不过原点．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若 $A P ⊥ A Q$ ，求证：直线 $l$ 经过定点，并求出定点的坐标；

(3)、若直线 $O P$ ， $P Q$ ， $O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，且 $k_{2}^{2} = k_{1} k_{3}$ ，求 $△ O P Q$ 面积的取值范围．

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11、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右支上一点 $P$ 在第一象限， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右焦点， $Q$ 为△ $P F_{1} F_{2}$ 的内心，若内切圆 $Q$ 的半径为1，则直线 $P F_{1}$ 的斜率等于.

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12、双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的右焦点到其一条渐近线的距离是．

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13、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $x = k y + \frac{p}{2}$ 与抛物线 $C$ 交于点 $M, N (M$ 在 $x$ 轴上方）， $O$ 为坐标原点， $| O F | = \frac{3}{2}, | N F | = 2$ .则（）

A、 $p = 3$ B、 $k = \sqrt{3}$ C、 $△ M O F$ 与 $△ N O F$ 面积之比为3 D、 $△ M N O$ 面积为 $3 \sqrt{3}$

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14、如图， $P$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上异于顶点的一点， $F (- c, 0) 、 A (a, 0)$ 分别是椭圆 $C$ 的左焦点和右顶点．过点 $P$ 分别向 $x$ 轴和直线 $l : x = - \frac{a^{2}}{c}$ 作垂线，垂足分别为 $M, N$ ．记直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $H, O$ 为坐标原点，则下列比值与 $\frac{| O F |}{| O A |}$ 相等的是（）

A、 $\frac{| O A |}{| O H |}$ B、 $\frac{| A F |}{| A H |}$ C、 $\frac{| M P |}{| M A |}$ D、 $\frac{| P F |}{| P N |}$

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{B F_{2}} = 2 \vec{F_{2} A}, B F_{1} ⊥ A B$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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16、长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线 $3 x - 4 y - 10 = 0$ 距离的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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18、已知 $\tan α = - \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin 2 α + 2 \cos 2 α}{4 \cos 2 α - 4 \sin 2 α} =$ （）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $- \frac{1}{14}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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19、已知 $\frac{z}{1 + 2 i} = - 1 + 3 i$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本： $(10 x + \frac{x^{2}}{10})$ 万元，x为每月生产人形机器人的个数.

(1)、该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元?

(2)、若每个人形机器人的售价为 $(23 + \frac{x}{5})$ 万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润 $=$ 售价 $\times$ 销量 $-$ 成本.

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