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相关试卷

1、已知角α的终边经过点 $P (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ 的最小正周期是（）

A、 $π$ B、 $2π$ C、 $3π$ D、 $4π$

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3、给出的下列选项中，正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = 2^{x}$ B、 ${(\sin \frac{π}{3})}^{'} = \cos \frac{π}{3}$ C、 ${(- \frac{1}{x^{2}})}^{'} = \frac{2}{x^{3}}$ D、 ${(\sin 2 x)}^{'} = \cos 2 x$

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4、定义：若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在公共定义域内存在 $x$ 使得 $f (x) + g (x) = 0$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 为“契合函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 e^{2}$ 和 $g (x) = e^{x + 1}$ 是否为“契合函数”；

(2)、若函数 $f (x) = ln x - 1$ 和 $g (x) = - x^{2} - a x + 1$ 不为“契合西数”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x) = \frac{1}{m} e^{x} + 1$ 和 $g (x) = \frac{sin x}{x} - 1 (m < 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上为“契合函数”，求 $m$ 的取值范围．

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5、已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴， $y$ 轴，且过 $(0, - 1), (\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 两点．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $(- 4, 0)$ ，斜率不为0的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，点 $C (- 1, 1)$ ，直线 $A C$ 与 $x$ 轴交于 $P$ ，与 $y$ 轴交于 $M$ ，直线 $B C$ 与 $x$ 轴交于 $Q$ ，与 $y$ 轴交于 $N$ ．若 $3 S_{△ C M N} = S_{△ C P Q}$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 5$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 3^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），记 $b_{n} = a_{n} - 3^{n}$ ．

(1)、求证： $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、设 $c_{n} = \frac{2 n + 1}{b_{n}}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．若不等式 ${(- 1)}^{n} λ < S_{n} + \frac{n}{2^{n - 1}}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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7、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $△ B F C$ 是等边三角形， $E F // A B$ ， $E F = \frac{1}{2} A B$ ，且平面 $F B C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $E F ⊥ B F$ ；

(2)、求直线 $B F$ 与平面 $A D E$ 所成角的余弦值.

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8、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A, P B, P C$ 两两垂直，且 $P A = P B = P C = 2$ ．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为.

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9、复数z满足 $z + 6 i = \bar{z}$ （ $i$ 为虚数单位），则z的虚部为.

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10、法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (- 1, 0)$ ， $N (1, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P M| \cdot |P N| = t (t > 0)$ ，其轨迹为 $C$ ．下列结论中，正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、原点始终在曲线 $C$ 的内部 C、当 $t = \sqrt{2}$ 时， $△ P M N$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 $\frac{t}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = sinωxcos ω x + \sqrt{3} {cos}^{2} ω x （ ω > 0 ）$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、若函数 $f (x)$ 关于 $x = \frac{π}{12}$ 对称，则 $ω$ 的最小值为 $1$ C、若函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是 $(0, \frac{1}{6}]$ D、若 $ω = 1$ ，当 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $f (x)$ 的所有零点的和为 $\frac{13 π}{3}$

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12、若 ${(8 - \sqrt{7} x)}^{n}$ 的展开式的各二项式系数之和为32，则（）

A、 $n = 5$ B、展开式中只有第三项的二项式系数最大 C、展开式中 $x^{4}$ 项的系数为1960 D、展开式中系数为有理数的项共有2项

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 于点 $M, N$ ，交 $E$ 的右支于点 $P$ ，若 $|F_{1} M| = |P N| = \frac{1}{2} |M N|$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{73}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$

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14、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2) - 2$ 为奇函数， $f (3 x + 1)$ 为偶函数， $f (1) = 0$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k)$ =（）

A、4036 B、4040 C、4044 D、4048

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $A (0, 4)$ ，直线 $l : x - 2 y - 2 = 0$ ，记 $A$ 关于 $l$ 的对称点为 $B$ ，且 $B$ 在 $C$ 上，则 $C$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 4$ B、 $x = - 1$ C、 $x = - 3$ D、 $x = - 2$

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16、甲､乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲､乙两人恰好选择同一岗位的选择方法有（）种.

A、18 B、27 C、36 D、72

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17、已知平面向量 $\vec{m} = (1, - 2), \vec{n} = (6, 8)$ ，则 $\vec{n}$ 在 $\vec{m}$ 方向上的投影向量坐标为（）

A、 $(2, - 4)$ B、 $(- 2, 4)$ C、 $(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

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18、某中学随机抽取了60名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是（）
学习时间／分钟
60
70
80
90
100
110
120
人数
9
10
14
12
8
5
2

A、75分钟 B、90分钟 C、95分钟 D、100分钟

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19、已知集合 $A = \{x |- 1 \leq x - 1 < 2\}$ ，集合 $B = \{x |y = \sqrt{2 - x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |0 \leq x < 2\}$ B、 $\{x |0 \leq x \leq 2\}$ C、 $\{x |1 < x < 3\}$ D、 $\{x |0 \leq x < 3\}$

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20、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点．已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $|\vec{A B} - \vec{A C}| = |\vec{A B} + \vec{A C}|$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 1$ ， $c = 2$ ，且点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(3)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求 $t$ 的最小值．

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学习时间／分钟	60	70	80	90	100	110	120
人数	9	10	14	12	8	5	2