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相关试卷

1、已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin α + 3 \cos α}{2 \sin α - 3 \cos α} =$ .

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2、对于定义域为 $D$ 的函数 $f (x)$ ，若存在区间 $[m, n] \subseteq D$ ，同时满足下列条件：① $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是单调的；②当 $x \in [m, n]$ 时，有 $f (x) \in [m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（）

A、 $f (x) = \frac{2}{x}$ B、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ C、 $f (x) = x^{3}$ D、 $f (x) = \ln x + 2$

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3、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的值域是 $[2, + \infty]$ D、 $f (x)$ 没有零点

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4、已知 $θ \in (0, π)$ ， $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{2}, π)$ B、 $\cos θ = - \frac{3}{5}$ C、 $\tan θ = \frac{4}{3}$ D、 $\sin θ - \cos θ = \frac{1}{5}$

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5、教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气，按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%，经测定，刚下课时，某教室空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 $y %$ ，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数 $y = 0.05 + λ e^{- \frac{t}{10}} (λ \in R)$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）（参考数据 $\ln 2 \approx 0.7, \ln 3 \approx 1.1$ ）

A、7分钟 B、9分钟 C、11分钟 D、14分钟

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6、在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据：
x
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数系的是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = a + b^{x}$ C、 $y = a + \log_{b} x$ D、 $y = a + \frac{b}{x}$

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7、设 $x \in R$ ，则“ $| x | > 1$ ”是“ $\frac{x}{x - 1} > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、点 $P (\sin 100^{\circ}, \cos 100^{\circ})$ 落在（）

A、第一象限内 B、第二象限内 C、第三象限内 D、第四象限内

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9、已知集合 $M = \{x| x \geq - 3\}$ ， $N = \{x| x^{2} \leq 4\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- 3, - 2]$ B、 $[- 3, 2]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $[- 3, + \infty)$

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10、已知函数 $f (x) = \log_{2} [(2 - a) x + 2 a - 1], a \in R$ .

(1)、若存在 $x_{0} \in [0, 1]$ ，使 $f (x_{0}) > 2 \log_{2} (x_{0} + 1)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - \log_{2} (\frac{1}{x} + a) = 0$ 有唯一解，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = \log_{9} (9^{x} + 1) + k x$ 是偶函数.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(3)、若方程 $f (x) = \frac{1}{2} x + b$ 有实数根，求 $b$ 的取值范围.

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12、北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的，属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度 $v$ （单位： $km / \min$ ）满足方程 $v = \frac{1}{3} \log_{2} \frac{x}{100} - \lg x_{0}$ ，其中 $x$ 表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数， $x_{0}$ 表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取 $\lg 2 = 0.3$ ）

(1)、当北极燕鸥每分钟的耗氧量为 $6400$ 个单位时，它的飞行速度为 $1.7 km / min$ ，求此时 $x_{0}$ 的值；

(2)、当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时，甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的 $10$ 倍，试问甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍？

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13、设函数 $f (x) = \log_{2} (1 + a \cdot 2^{x} + 4^{x})$ ，其中 $a$ 为常数.

(1)、当 $f (2) = f (1) + 2$ ，求 $a$ 的值；

(2)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq x - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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14、若不等式 $[3^{x} (t - 1) - 1] \cdot \log_{3} \frac{4 t}{4 x - 1} \leq 0$ 对任意的正整数 $x$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围是.

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15、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (x + 1) = 0$ ，当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (2 + \log_{2} 5)$ 的值为.

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16、 ${(\frac{1}{27})}^{\frac{2}{3}} + \log_{8} 5 \cdot \log_{\frac{1}{5}} 4 + 10^{2 \lg 2 - \lg 3} =$ .

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17、若定义在 $R$ 上的偶函数 $y = f (x)$ ，对任意两个不相等的实数 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ，则称 $y = f (x)$ 为“ $β$ 函数”.下列函数为“ $β$ 函数”的是（）

A、 $f (x) = 4 - x^{2}$ B、 $f (x) = \ln (4 + x^{2})$ C、 $f (x) = 1 - 2 x^{3}$ D、 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{- x} - e^{x}, x > 0 \\ e^{x} - e^{- x}, x \leq 0 \end{array}$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2, x \leq 0 \\ |\log_{2} x|, x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有四个不同的实数解 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{3} x_{4}^{2} + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{4}}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $[- 3, 3)$ D、 $(- 3, 3]$

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19、已知 $f (x) = 2^{|x - 1|}$ ，且其在区间 $[a, b]$ 上的值域为 $[1, 2]$ ，记满足该条件的实数 $a$ 、 $b$ 所形成的实数对为点 $P (a, b)$ ，则由点P构成的点集组成的图形为（）

A、线段AD B、线段AB C、线段AD与线段CD D、线段AB与线段BC

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20、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{4}{x} - {log}_{2} x - 1$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 0) \cup (1, 2)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (1, 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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x	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3
y	0.24	0.51	1	2.02	3.98	8.02