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相关试卷

1、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ 过点 $(\sqrt{3}, 1)$ ，则该椭圆的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{6}$

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2、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $A (6, m)$ 为抛物线上一点， $|A F| = 8$ ，直线 $A F$ 与抛物线另一交点为 $B$ ，则 $\frac{|A F|}{|B F|} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3、我们知道，若 $a, b \in (0, + \infty)$ ，则有不等式 ${(\frac{a + b + c}{3})}^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$ 成立（当且仅当 $a = b = c$ 时等号成立）．从 ${(\frac{a + b + c}{3})}^{2} - \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a}{9} \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$ $= \frac{- 2 a^{2} - 2 b^{2} - 2 c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a}{9} = \frac{{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}}{9} \leq 0$ 可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：

(1)、求代数式 $2 \sqrt{2 + t} + \sqrt{3 - 2 t}$ 的最大值；

(2)、已知 $x > 0, y > 0, z > 0$ ，若不等式 $m (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}) \leq \sqrt{x + y + z}$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若a，b， $c \in (0, + \infty)$ ，证明： ${(\frac{a + b + c}{3})}^{4} \leq \frac{a^{4} + b^{4} + c^{4}}{3}$ ．

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4、已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (2 + x) - \log_{\frac{1}{3}} (2 - x)$ ， $g (x) = 2 x^{2} - m x + 3$ ．

(1)、求方程 $f (x) = 0$ 的解；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性与单调性；

(3)、对 $\forall x_{1} \in [- 1, 1]$ ， $\exists x_{2} \in [- 1, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数m的取值范围．

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5、已知函数 $f (x) = 4^{x} - (m + 1) \cdot 2^{x} - 1$ ．

(1)、若 $m = 0$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的值域；

(2)、若 $m = - 1$ ，设 $g (x) = \frac{f (x)}{2^{x}}$ ，若对任意实数 $x$ ，不等式 $g (x - 1) + g (x^{2} + t) > 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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6、已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 6 m - 8, x \geq 1 \\ - x^{2} + m x + m^{2}, x < 1 \end{array}$ ，若对于任意实数a，方程 $f (x) = a$ 有且只有一个实数根，且 $f (2) < 8$ ，函数 $y = |f (x)|$ 的图象与函数 $y = m x + t$ 的图象有三个不同的交点，则t的取值范围为．

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7、已知角 $α$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点 $A (m, \frac{1}{3})$ ，则 $\cos 2 α =$ ．

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8、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意的实数 $x$ ，都有 $f (x) = f (x - 2) - f (4 - x)$ ，且 $f (0) = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 为周期函数且周期为12 C、 $f (4) = - 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{25} f (2 i) = 2$

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9、下列命题正确的是（）

A、若 $x > 1, x + \frac{1}{x - 1}$ 最小值为3 B、 $f (t) = \frac{1}{\sqrt{t^{2}}}$ 和 $g (x) = \frac{1}{x}$ 表示同一个函数 C、若集合 $M$ 满足 ${1, 2} \subseteq M \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ ，那么这样的集合 $M$ 有8个 D、函数 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 过定点 $(0, 1)$

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10、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} (\cos x - \sin x) (\cos x + \sin x) + 3 a (\sin x - \cos x) + (4 a - 1) x$ 在区间 $[\frac{7}{4} π, 2 π]$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{1}{7}]$ B、 $[- \frac{16}{9}, 0]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{7}]$ D、 $(- \infty, 0]$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{x} + 1}$ ，则满足不等式 $f (m^{2}) + f (2 m) > 0$ 的 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $(0, 2)$

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12、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{9}$ ， $tan α tan β = 2$ ，则 $cos (2 α - 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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13、若函数 $f (x) = \log_{2 a} (6 - \frac{x}{a})$ 在区间 $(- 1, 2)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{3}]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(0, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$

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14、已知 $\tan (- 80 °) = k$ ，则 $\tan 100 °$ 的值是（）

A、k B、 $- k$ C、 $\frac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}}$ D、 $- \frac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}}$

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15、若 $a \in R$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $\sqrt{- 2 a^{2} + 12 a - 18}$ 有意义”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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16、已知集合 $U = \{x ||x| > 1\}$ ， $A = \{x| x > 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, 2]$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, 2)$

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17、已知点 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线截 $C$ 所得线段长为4．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、 $M$ 为抛物线 $C$ 的准线上任意一点，过点 $M$ 作MA，MB与 $C$ 相切，A，B为切点，则直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} x - e^{x}$ （ $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、若 $a = 2 e$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $x \in (- 1, + \infty), \forall n \in N^{*}, f (x) \leq {(x + 2)}^{n} - x - 3$ ，求 $a$ ；

(3)、利用（2）中求得的 $a$ ，若 $F (x) = f (ln x) + x + \frac{1}{x}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} \in (0, 1)$ ，且 $a_{n + 1} = F (a_{n})$ ，证明： $2 a_{n + 1} + a_{n + 3} - 1 > 2 a_{n + 2}$ .

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19、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = e^{x}$ ．
（1）求函数 $h (x) = a g (x) - x$ 的极值；
（2）求函数 $φ (x) = f (x) - \frac{x + a}{x - 1}$ 的单调区间；
（3）定义：同时相切于两条（或两条以上）的曲线的直线叫做两条（或两条以上）的曲线公切线．判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数．

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20、已知定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in D (x_{1} \neq x_{2})$ ，存在一个正实数 $λ$ ，满足 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq λ |g (x_{1}) - g (x_{2})|$ ，则称 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的“ $λ$ －伴侣函数”，其中 $λ$ 的最小值称为“伴侣指数”．

(1)、已知 $D = [1, 2]$ ，判断函数 $g (x) = 2 x + 1$ 是否为 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 的“ $λ$ －伴侣函数”，若是，求出“伴侣指数”；若不是，请说明理由．

(2)、求证：在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“ $λ$ －伴侣函数”．

(3)、已知 $D = [1, 2]$ ，若函数 $g (x) = x + 1$ 是 $f (x) = 2 a (x - 1) e^{x} - x^{2} - 2 x ln x$ 的“4－伴侣函数”，求实数 $a$ 的取值范围．

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