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相关试卷

1、关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根的充要条件是（）

A、 $a > 2$ 或 $a < - 2$ B、 $a \geq 2$ 或 $a \leq - 2$ C、 $a < 1$ D、 $a > 2$

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2、已知命题 $P : \exists x_{0} > 1, x_{0}^{2} - 1 > 0$ ，那么 ${}_{\neg}P$ 是（）

A、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 1 > 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} > 1$ ， $x_{0}^{2} - 1 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} < 1$ ， $x_{0}^{2} - 1 \leq 0$

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以 $x$ 轴的正半轴为始边，终边经过点 $(\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\sin α$ 的值是（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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4、下列命题中真命题是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $\frac{a}{c^{2}} < \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a < b$ C、若 $a > b$ ，则 $a - b < 0$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - c > b - d$

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5、已知集合 $M = \{1, 2\}$ ，集合 $N = \{1, 2, 3\}$ ，下列表述正确的是（）

A、 $N \in M$ B、 $M \in N$ C、 $M \subseteq N$ D、 $N \subseteq M$

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6、由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆 $C_{1}$ 的“特征三角形”为 $△_{1}$ ，椭圆 $C_{2}$ 的“特征三角形”为 $△_{2}$ ，若 $△_{1} \sim △_{2}$ ，则称椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ “相似”，并将 $△_{1}$ 与 $△_{2}$ 的相似比称为椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的相似比.已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相似.

(1)、求椭圆 $C_{2}$ 的离心率；

(2)、若椭圆 $C_{1}$ 与椭圆 $C_{2}$ 的相似比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，设 $P$ 为 $C_{2}$ 上异于其左､右顶点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的一点.过 $P$ 分别作椭圆 $C_{1}$ 的两条切线 $P B_{1}$ ， $P B_{2}$ ，切点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，设直线 $P B_{1}$ ， $P B_{2}$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值；

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7、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， △ $B_{1} B A$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形， $A C = \sqrt{6}$ ， $B_{1} C$ 与平面 $A B C$ 所成角为45°．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若点 $E$ 为 $B C$ 中点，点 $P$ 为棱 $C C_{1}$ 上一点，且满足 $λ = \frac{C P}{C C_{1}}$ ，是否存在 $λ$ 使得平面 $A B P$ 与平面 $A E B_{1}$ 夹角余弦为 $\frac{\sqrt{6}}{10}$ ，若存在求出 $λ$ 值，存不存在请说明理由．

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，且 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $C$ 的右顶点为 $P$ ，过 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 4$ ，求 $|A B|$ .

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $C F / /$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B E$ 的距离.

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10、已知圆 $C$ 的圆心为直线 $x + y - 2 = 0$ 与直线 $3 x - y - 6 = 0$ 的交点，且圆 $C$ 过点A $(3, 2)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ 为圆 $C$ 上任意一点， $M (8, 0)$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{P M} = 2 \vec{Q M}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程.

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11、已知正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的底面边长为 $2 \sqrt{3}$ ，高为2，点 $P$ 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是 $M N$ ，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是.

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12、已知直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且弦 $A B$ 的中点为 $M (3, \frac{3}{2})$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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13、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ ，并且焦距为6，则实数 $m$ 的值为.

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14、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则直线 $l$ $∥$ $α$ B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面 C、两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4), \vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(1, 2, 2)$

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15、下列说法正确的是（）

A、过 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 两点的直线方程为 $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ B、已知两点 $A (- 3, 4)$ ， $B (3, 2)$ ，过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 1]\cup[1, + \infty)$ C、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是 $2$ D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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16、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ .过 $F_{2}$ 向一条渐近线作垂线，垂足为 $P$ .若 $|P F_{2}| = 2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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17、一条光线从点 $(5, 4)$ 射出，经 $x + y - 2 = 0$ 反射后与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ 或 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{6}{5}$ 或 $\frac{5}{6}$

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18、已知直线 $a, b, c$ 和平面 $α, β, γ$ ，则下列命题正确的是（）

A、平面 $α$ 内不一定存在和直线 $a$ 垂直的直线 B、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α // β$ C、若 $a, b$ 异面且 $a \subset α, b \subset β, a // β, b // α$ ，则 $α // β$ D、若 $α \cap β = a, α \cap γ = b, β \cap γ = c$ ，则直线 $a, b, c$ 可能两两相交且不过同一点

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19、如图，已知空间四边形 $O A B C$ ，其对角线 $O B$ ， $A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是对边 $O A$ ， $B C$ 的中点，点 $G$ 在线段 $M N$ 上，且 $G N = 2 M G$ ，现用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，设 $\vec{O G} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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20、设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 2, 2), \vec{b} = (2, y, 2), \vec{c} = (3, - 6, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b}$ $∥$ $\vec{c}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 2$ C、2 D、8

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