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相关试卷

1、我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与它的渐近线以及直线 $y = \pm 4 \sqrt{2}$ 所围成的图形，将此图形绕 $y$ 轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为．

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $P A = A B = B C = 6$ ，则向量 $\vec{P C}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（用向量 $\vec{B C}$ 来表示）.

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3、点 $M (1, 0)$ 到直线 $y = k x + 2$ 的距离最大值是．

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4、中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，到两定点 $F_{1} (- a, 0), F_{2} (a, 0)$ 距离之积为常数 $a^{2}$ 的点的轨迹 $C$ 是双纽线．若 $M (3, 0)$ 是曲线 $C$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 上有且仅有1个点 $P$ 满足 $|P F_{1}| = |P F_{2}|$ B、曲线 $C$ 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C、若直线 $y = k x$ 与曲线 $C$ 只有一个交点，则实数 $k$ 的取值范围为 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3

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5、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $B B_{1} P ⊥$ 平面 $A B C D$ B、 $B P$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、若 $P$ 是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $A A_{1}$ 到平面 $B B_{1} P$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、若直线 $B_{1} P$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，则 $D_{1} P = \frac{1}{2}$

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6、已知向量 $\vec{e_{1}} = （ t, 2 t, 2), \vec{e_{2}} = (2 t - 2, - t, - 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{e_{1}} ⊥ \vec{e_{2}}$ ，则 $t = - 1$ B、若 $\vec{e_{1}} / / \vec{e_{2}}$ ，则 $t = \frac{4}{5}$ C、 $|\vec{e_{1}}|$ 的最大值2 D、 $< \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}} >$ 为钝角，则 $t > - 1$

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7、已知曲线 $E : x |x| + y |y| = 1$ ，则下列结论中错误的是（）

A、曲线 $E$ 与直线 $y = - x$ 无公共点 B、曲线 $E$ 关于直线 $y = x$ 对称 C、曲线 $E$ 与圆 ${(x + \sqrt{2})}^{2} + {(y + \sqrt{2})}^{2} = 9$ 有三个公共点 D、曲线 $E$ 上的点到直线 $y = - x$ 的最大距离是 $\sqrt{2}$

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 9$ 与 $C$ 的一条渐近线相交，且弦长不小于2，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, \sqrt{10}]$ C、 $(0, \frac{3}{2}]$ D、 $(0, \frac{5}{2}]$

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9、若直线 $2 x + (2 a −5) y +2=0$ 与直线 $b x +2 y −1=0$ 互相垂直，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、5 D、 $\sqrt{5}$

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10、人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有 $3$ 种.设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，则欧几里得距离 $D (A, B) = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ；曼哈顿距离 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，余弦距离 $e (A, B) = 1 - \cos (A, B)$ ，其中 $\cos (A, B) = \cos 〈 \vec{O A}, \vec{O B} 〉$ （ $O$ 为坐标原点）.

(1)、若 $A (1, 2), B (3, 4)$ ，求 $A, B$ 之间的曼哈顿距离 $d (A, B)$ 和余弦距离 $e (A, B)$ ；

(2)、若点 $M (3, 0), d (M, N) = 2$ ，求 $e (M, N)$ 的最大值；

(3)、已知点 $P$ ， $Q$ 是直线 $l : y - 1 = k (x - 1)$ 上的两动点，问是否存在直线 $l$ 使得 $d {(O, P)}_{\min} = D {(O, Q)}_{\min}$ ，若存在，求出所有满足条件的直线 $l$ 的方程，若不存在，请说明理由.

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11、已知O为坐标原点，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $P Q$ 交椭圆 $C$ 于P，Q两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、记以 $O P, O Q$ 为直径的圆的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, △ O P Q$ 的面积为S，求 $S (S_{1} + S_{2})$ 的最大值.

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12、如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $A D = 2, D D_{1} = 4$ ，点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $C_{1} P = 3 P C$ .

(1)、求三棱锥 $V_{P - B C D}$ 的体积；

(2)、直线 $A_{1} P$ 与平面PBD所成角的正弦值.

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13、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，圆 $C$ 经过点 $M (1, 1)$ 和点 $N (4, 2)$ ，且圆心在直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $x = t y + 3$ 被圆 $C$ 截得弦长为 $2 \sqrt{17}$ ，求实数 $t$ 的值.

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14、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (- 1, 0, 2), \vec{c} = (1, \frac{4}{k}, 2)$ 且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 互相平行，则实数 $k$ 的值.

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15、已知直线 $l : (2 - m) x + (2 m + 1) y + 3 m + 4 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 2)$ B、直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 垂直，则 $m = \frac{1}{3}$ C、当点 $Q (3, 4)$ 到直线 $l$ 的距离取到最大时，此时 $m = \frac{4}{7}$ D、直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y + 16 = 0$ 所截得的最短弦长为1

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16、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在线段 $A D_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 上（含端点），则下列命题正确的是（）

A、 $M N$ 长的最小值为 $1$ B、三棱锥 $M - B N C$ 的体积为定值 C、有且仅有一条直线 $M N$ 与 $A D_{1}$ 垂直 D、当点 $M$ 、 $N$ 为线段中点时，则 $△ M B N$ 为等腰三角形

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17、已知 $F$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的右焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $Q$ 为圆 $M : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一点，则 $| P Q | - | P F |$ 的最小值为（）

A、－5 B、－4 C、－3 D、－2

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18、过点 $(3, 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 相切的两条直线的夹角为 $θ$ ，则 $\sin θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{11}{13}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{13}$

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19、在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = 3 \vec{M A}, N$ 为 $B C$ 的点，且 $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

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20、已知圆的标准方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ ，则圆心坐标为（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(- 2, - 1)$

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