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相关试卷

1、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为 $2, D$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A C C_{1}$ 与面 $A_{1} B D$ 所成角的余弦值.

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2、已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1$ ，（ $a > 0$ ）， $g (x) = x^{3} + b x$
（1）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值
（2）当 $a = 3, b = - 9$ 时，若函数 $f (x) + g (x)$ 在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围

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3、设 $[x]$ 表示不超x的最大整数（如 $[2] = 2, [\frac{5}{4}] = 1$ ）．对于给定的 $n \in N^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x} = \frac{n (n - 1) \dots (n - [x] + 1)}{x (x - 1) \dots (x - [x] + 1)}, x \in [1, + \infty)$ ，则 $C_{8}^{\frac{3}{2}} =$ ；当 $x \in [2, 3)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是．

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4、函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a, b, c$ 成等比数列且 $f (0) = - 4$ ，则 $f (x)$ 值域为.

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ；

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6、曲线 $C$ 是平面内与三个定点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 和 $F_{3} (0, 1)$ 的距离的和等于 $2 \sqrt{2}$ 的点的轨迹， $P$ 为 $C$ 上一点，则（）

A、曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称 B、存在点P，使得 $|P F_{3}| = \sqrt{2}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值是1 D、存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为钝角

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列 B、 $T_{n}$ 可能为 $2^{n} - 1$ C、数列 $\{\frac{S_{n}}{n - 1}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{b_{n}^{2}\}$ 是等比数列

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8、有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} + c$ ( $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n), c$ 为非零常数，则（）

A、两组样本数据的样本平均数相同 B、两组样本数据的样本中位数相同 C、两组样本数据的样本标准差相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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9、有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母 $H$ .你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（）

A、①② B、②③ C、②④ D、④③

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10、设10≤x₁＜x₂＜x₃＜x₄≤10⁴ ， x₅=10⁵ ，随机变量 $ξ_{1}$ 取值x₁、x₂、x₃、x₄、x₅的概率均为0.2，随机变量 $ξ_{2}$ 取值 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 、 $\frac{x_{2} + x_{3}}{2}$ 、 $\frac{x_{3} + x_{4}}{2}$ 、 $\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$ 、 $\frac{x_{5} + x_{1}}{2}$ 的概率也均为0.2，若记 $D ξ_{1}$ 、 $D ξ_{2}$ 分别为 $ξ_{1}$ 、 $ξ_{2}$ 的方差，则（　　）

A、 $D ξ_{1}$ > $D ξ_{2}$ B、 $D ξ_{1}$ = $D ξ_{2}$ C、 $D ξ_{1}$ < $D ξ_{2}$ D、 $D ξ_{1}$ 与 $D ξ_{2}$ 的大小关系与x₁、x₂、x₃、x₄的取值有关

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11、已知 $a, b \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{b}{a} < 1$ C、 $\lg (a - b) > 0$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$

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12、已知空间向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $\vec{m} - \vec{n} = (1, 2, 3), \vec{m} + \vec{n} = (0, - 2, 1)$ ，则 $| \vec{m} |^{2} - | \vec{n} |^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、0 D、 $- 1$

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13、函数 $f (x) = - 3 tan (2 x - 7)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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14、把函数 $y = ln (x + 1)$ 的图象按向量 $\vec{m} = (2, 0)$ 平移，得到 $y = f (x)$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $ln (x - 1)$ B、 $ln (x + 3)$ C、 $ln (x + 1) + 2$ D、 $ln (x + 1) - 2$

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15、若集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}, B = \{y | y = x^{2} - 1, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 2\}$ B、 $\{0, 1, 3\}$ C、 $\{- 1, 0, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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16、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = C C_{1} = 1$ ， $C C_{1} ⊥ C D$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $E$ 为 $C D$ 中点， $F$ 在线段 $B C$ 上（包含端点），则下列说法正确的是（）

A、存在点 $F$ ，使得 $A_{1} F / /$ 平面 $A D_{1} E$ B、存在点 $F$ ，使得平面 $A D_{1} E ⊥$ 平面 $D_{1} E F$ C、不存在点 $F$ ，使得 $|D_{1} F| + |E F| = \sqrt{10}$ D、不存在点 $F$ ，使得四棱锥 $F - C D D_{1} C_{1}$ 有内切球

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17、对于一个给定的数列 $\{a_{n}\}$ ，令 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，再令 $c_{n} = b_{n} + b_{n + 1}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列，以此类推，可得数列 $\{a_{n}\}$ 的 $p$ 阶和数列．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列是等比数列，且 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 0$ ， $a_{4} = 3$ ，求 $a_{7}$ ；

(2)、若 $a_{n} = 2 n$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列的前 $n$ 项和；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，且 $3 a_{k - 1} \leq 2 b_{k - 1} (k \geq 2)$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = 1000$ ，求正整数 $k$ 的最大值，以及 $k$ 取最大值时 $\{a_{n}\}$ 的公差．

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18、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ ， $g (x) = \sin x - a x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = g (x)$ 在点 $(π, g (π))$ 处切线的方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(3)、用 $max \{m, n\}$ 表示 $m$ 、 $n$ 的最大值，记 $F (x) = max \{f (x), g (x)\}$ ．问：是否存在实数 $a$ ，使得对任意 $x \in R$ ， $F (x) \geq 0$ 恒成立？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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19、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ 皆为曲线C上点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若曲线 $C$ 的右焦点为 $F$ ，过 $M (4, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $D, E$ ，求证：直线 $F D$ 与直线 $F E$ 斜率之和为定值.

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20、在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢
不喜欢
男性
40
10
女性
20
30

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？

(2)、从这100名样本观众中任选1名，设事件 $A =$ “选到的观众是男性”，事件 $B =$ “选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较 $P (B |A)$ 和 $P (B |\bar{A})$ 的大小，并解释其意义.
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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	喜欢	不喜欢
男性	40	10
女性	20	30

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828