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相关试卷

1、如图，已知斜四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 的射影为 $O$ ，且 $A D = B C = C D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， $A_{1} O = \frac{1}{2}$ ， $A A_{1} ⊥ B C$ ．

(1)、求证：平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、已知点 $M$ 满足 $\vec{D_{1} M} = λ \vec{D_{1} B_{1}}$ ， $λ \in (0, 1)$ ，且平面 $M B C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求直线 $A_{1} M$ 与平面 $M B C$ 所成角的正弦值．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = a_{n + 1} + 2 a_{n} a_{n + 1}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、令 $\{\frac{(2 n - 1) a_{n}}{n (n + 2)}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 首项为2，公差为2，前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，且满足 $b_{n} = \frac{3}{S_{n}} + \ln \frac{n}{n + 1}$ ．若对于任意 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} \leq m$ 成立，则m的最小值为．

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4、设函数 $f (x) = \ln x - k (x - \frac{1}{x})$ ，若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是单调减函数，则k的取值范围是．

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5、已知函数 $f (x) = x e^{a - x} + x$ ， $a \in R$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 1)$ 上单调递增 B、当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 有且只有一个极值点 C、若 $f (x)$ 有两个极值点，则 $a > 2$ D、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 3$

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6、下列求导计算中，错误的有（）

A、若 $y = \frac{1}{2} \sin 2 x$ ，则 $y^{'} = \cos 2 x$ B、若 $y = \cos \frac{1}{x}$ ，则 $y^{'} = - \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ C、若 $y = x^{2} + e^{2}$ ，则 $y^{'} = 2 x$ D、若 $y = \ln x - \frac{1}{x^{2}}$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

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7、借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求 $\ln 1.01$ ，我们先求得 $y = \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ ，再把 $x = 1.01$ 代入切线方程，即得 $\ln 1.01 \approx 0.01$ ，类比上述方式，则 $\sqrt[4000]{e} \approx$ （）．

A、1.00025 B、1.00005 C、1.0025 D、10005

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8、函数 $f (x) ＝ \frac{\ln |x| - x^{2} + 2}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为4，公比为 $q$ 的等比数列，若 $4 a_{1}, a_{5}, - 2 a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{5} =$ （）

A、4 B、8 C、-4 D、-8

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10、已知向量 $\vec{a} = (2 x - 1, x)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则| $|3 \vec{a} - 2 \vec{b}| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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11、已知 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - 3 i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ，若 $a \in A$ ，且 $a + 3 \in A$ ，则a的取值范围是（）

A、 $[- 2, 3]$ B、 $[- 3, - 1]$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $[- 3, 2]$

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13、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线 $x - \sqrt{6} y = 4$ 相切.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，线段 $C D$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点为 $Q$ ，点 $Q$ 关于直线 $C D$ 的对称点为点 $P$ ，若四边形 $P C Q D$ 为正方形，求 $k$ 的值.

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14、若直线 $y = k (x + 2)$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相切于第一象限点 $P$ ，则 $k =$ ．

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15、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90^{\circ} ､ 180^{\circ} ､ 270^{\circ}$ 后所得三条曲线与 $C$ 围成的（如图阴影区域）， $A ､ B$ 为 $C$ 与其中两条曲线的交点，若 $p = 2$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = 4 x^{2}$ B、阴影区域的面积大于64 C、 $|A B| = 8$ D、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\sqrt{2}$

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16、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E是 $C C_{1}$ 的中点，点F是面 $B C C_{1} B_{1}$ 上的动点（包括边界），且满足 $A_{1} F / /$ 平面 $A D_{1} E$ ，则下列结论正确的是（）

A、动点F的轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、三棱锥 $A_{1} - C C_{1} F$ 体积的取值范围为 $[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]$ C、当三棱锥 $A_{1} - C C_{1} F$ 体积取最大值时，其外接球的表面积为 $\frac{25π}{2}$ D、当三棱锥 $A_{1} - C C_{1} F$ 体积取最小值时，其外接球的表面积为 $14 π$

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17、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 与函数 $g (x) = cos (4 x + θ) (|θ| < \frac{π}{2})$ 的图象的对称中心完全相同，则（）

A、函数 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数 B、 $θ = \frac{π}{3}$ C、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $(\frac{7 π}{24}, 0)$ 是 $g (x)$ 图象的一个对称中心

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18、已知正实数 $a, b$ 满足 $a - 2 \ln a = 2 \ln b - 4 b + 4$ ，则 $\log_{a} b =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{1}{2}$

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x + 2)$ 为偶函数， $f (x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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20、已知 $\frac{\tan θ \tan 2 θ}{\tan θ - \tan 2 θ} = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin^{4} θ + \cos^{4} θ =$ （）

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{17}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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