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相关试卷

1、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的两条渐近线与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线分别交于 $P$ ， $Q$ 两点， $B$ 为双曲线的右顶点，且 $△ B P Q$ 为正三角形．设点 $M$ 为抛物线上的动点，点 $M$ 在 $y$ 轴上的投影为点 $N$ ，点 $A (4, 3 \sqrt{5})$ ，则 $|M A| + |M N|$ 的最小值为（）

A、5 B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5} - 2$

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 一条渐近线的斜率为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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3、某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在 $[350, 450]$ 内的学生人数为（）

A、300 B、400 C、600 D、1200

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + (3 a - 4) x - 3, x < 1 \\ a^{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，对任意实数 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 都满足 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[2, 4]$ C、 $[2, 4)$ D、 $(1, + \infty)$

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5、已知集合 $A = \{x | x^{2} < 1\}$ ， $B = \{a\}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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6、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F (- 1, 0)$ ， $P$ 是直线 $l : x = - 8$ 右侧区域内的动点， $P$ 到直线 $l$ 与 $y$ 轴的距离之和等于它到点 $F$ 距离的4倍，记点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程，并在图中画出该曲线；

(2)、直线 $l^{'}$ 过点 $F$ ，与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，
（i）若 $|A B| = \frac{9}{2}$ ，求直线 $l^{'}$ 的方程：
（ii）若 $|A B| = 4$ ， $T$ 是点 $F$ 关于 $y$ 轴的对称点，延长线段 $A T$ 交 $E$ 于点 $C$ ，延长线段 $B T$ 交 $E$ 于点 $D$ ，直线 $C D$ 交 $x$ 轴于点 $M (m, 0)$ ，求 $m$ 的最小值．

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7、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) + \frac{a x}{x + 1} (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a > 0$ 时，解方程 $f^{'} (x) - f (x) = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - ln \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ．

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8、PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由 $A ， B ， C ， D$ 四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页 $A$ 开始浏览（记为第1次停留）．

(1)、求该用户第3次停留在网页 $D$ 上的概率；

(2)、某广告公司准备在网页 $B ， C$ 中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．

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9、已知函数 $f (x) = \sin x$ ， $g (x) = cos x$ ，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（）

A、 $y = f (x) - g (x)$ 与 $y = f (x)$ B、 $y = {[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}$ 与 $y = f (x) g (x)$ C、 $y = f [f (x)]$ 与 $y = f [g (x)]$ D、 $y = f [f (x)]$ 与 $y = g [f (x)]$

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10、已知 $f (x)$ 是定义在 $I$ 上的函数，若对任意 $x \in I$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为 $I$ 上的非负函数.

(1)、判断 $f (x) = x - e \ln x$ 是否为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，并说明理由.

(2)、已知 $n$ 为正整数， $g (x) = n x - a \ln x (a > 0)$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，记 $a$ 的最大值为 $a_{n}$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 为等差数列.

(3)、已知 $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ，函数 $h (x) = \frac{n^{x}}{x^{n}} (x > 0)$ ，若 $F (x) = h (x) - h (b_{n})$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，证明： $\sum_{n = 2}^{2025} \frac{1}{b_{n}} < {(\ln 2025)}^{2}$ .

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11、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左右两顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $C (1, 0)$ 作斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的动直线与椭圆 $E$ 相交于 $M, N$ 两点.当 $k_{1} = 1$ 时，点 $A_{1}$ 到直线 $M N$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设点 $M$ 关于原点的对称点为 $P$ ，设直线 $A_{1} P$ 与直线 $A_{2} N$ 相交于点 $Q$ ，设直线 $O Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试探究 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.

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12、若关于 $x$ 的方程 $m + e \ln m = \frac{x}{e^{x}} + e (\ln x - x)$ 有解，则实数m的最大值为.

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13、一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为 $\frac{1}{5}$ ，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是.

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14、若变量 $x, y$ 满足 $\{\begin{cases} 2 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ x \geq 1 \end{cases}$ ，目标函数 $z = 2 a x + b y (a > 0, b > 0)$ 取得最大值 $6$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为．

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15、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M, N$ 分别为线段 $A_{1} B_{1}, C C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = 2 B C = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，平面 $A B N ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，则四面体 $A B M N$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{10} π}{3}$ B、 $10 π$ C、 $5 \sqrt{10} π$ D、 $30 π$

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = - 12 x$ 的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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17、把函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象. 若函数 $y = g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上恰有 3 个零点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$ B、 $(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}]$ C、 $(\frac{11}{6}, + \infty)$ D、 $(\frac{8}{3}, + \infty)$

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18、已知 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin x$ 的值为

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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19、某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办“校园安全知识”了竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生 $m$ 名，高中生 $n$ 名，经统计： $m + n$ 名学生的平均成绩为74分，其中 $m$ 名初中生的平均成绩为72分， $n$ 名高中生的平均成绩为 $x$ 分，则 $x =$ （）

A、74 B、76 C、78 D、80

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20、我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = a^{2}$ ，其中 $a, c$ 均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线 $C$ ，它的轨迹方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} + λ (x^{2} - y^{2}) = μ$ .

(1)、求参数 $λ, μ$ 的值（用含 $a, c$ 的式子表示）；

(2)、若 $P (x, y)$ 为曲线上一点，求证： $|y| \leq \frac{a^{2}}{2 c}$ ， $|x| \leq \sqrt{a^{2} + c^{2}}$ ；

(3)、若 $a = c = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，求证：曲线 $C$ 恰经过 $3$ 个整点（横、纵坐标均为整数的点）.

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