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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(x - \frac{2}{x})}^{8}, x < 0, \\ - \sqrt{x}, x \geq 0. \end{array}$

(1)、当 $x < 0$ 时，求 $f (x)$ 表达式的展开式中含有 $x^{2}$ 项的系数；

(2)、当 $x > 0$ 时，求 $f (f (x))$ 表达式的展开式中的常数项．

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2、如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为 $X$ ，则 $D (X) =$ ，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“ $X = 2$ ”的概率是．

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3、函数 $f (x) = x^{3} - |3 x - 2|$ 的零点个数为．

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4、若 $C_{14}^{m} = C_{14}^{m + 2}$ ，则 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{m}^{2}$ 的值为．

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5、设随机变量 $X \sim N (0, 1), f (x) = P (X \leq x)$ ，则（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、 $2 f (2) > f (1) + f (3)$ C、 $P (|X| \leq x) = 1 - 2 f (x)$ D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

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6、设函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则（）

A、 $f (3) > f (5)$ B、 $f (e^{a} + 4) < f (\frac{4 e^{a} + 2}{e^{a} + 1})$ C、 $f (x) - f (\frac{e^{2}}{x}) \geq 0$ D、 $f (x) + f (\frac{1}{x}) \leq 0$

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7、已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a + b > a b$ C、 $\sqrt{a} - \sqrt{b} > {log}_{2} b - {log}_{2} a$ D、 $\sqrt{1 + a^{2}} - \sqrt{1 + b^{2}} < a - b$

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8、在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ ．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（）

A、 $1 - α + β$ B、 $1 + α - β$ C、 $\frac{1}{2} (1 - α + β)$ D、 $\frac{1}{2} (1 + α - β)$

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9、已知 $a > 0, b > 0, a + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 b}{a b + 2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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10、从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（）

A、48 B、60 C、72 D、100

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11、“ $α > 0$ ”是“函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、设集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 8\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用 $X$ 表示停止时摸出红球的次数.
①求 $X$ 的分布列和数学期望；
②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.
（2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.）

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14、（1）求函数 $f (x) = x \ln x$ 在区间 $[\frac{1}{3}, 3]$ 上的值域；
（2）设函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x - \frac{1}{2} - x \ln x$ .
①求证：当 $a = 0$ 时， $g (x)$ 有唯一零点；
② $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别是 $g (x)$ 的两个不相等的极值点，求证： $x_{1} + x_{2} > a + 2$ .

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin A + a \cos C$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点，满足 $B D = 2 C D$ ，且 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积最大值.

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16、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $A C ⊥ B C$ ， $△ A B A_{1}$ 是边长为2的等边三角形.

(1)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、求二面角 $A - A_{1} B - C$ 的正弦值.

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17、如图， $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $P$ 是抛物线 $C$ 在第一象限上的一点， $∠ O F P = 60 °$ ， $| P F | = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求抛物线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程.

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(- 1, 1)$ ，点 $Q$ 为圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上的动点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最小值为.

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19、已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备种不同的车票.

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20、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $E C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = C E = 2$ ， $B C = C D = 1$ ， $M$ 、 $N$ 分别为棱 $D E$ 、 $C E$ 上的动点，设 $\vec{D M} = λ \vec{D E} (0 \leq λ \leq 1)$ ， $\vec{C N} = μ \vec{C E} (0 \leq μ \leq 1)$ ，则（）

A、当 $μ = 0$ 时，存在 $λ$ ，使得 $M N //$ 平面 $A B E$ B、当 $μ = 0$ 时，存在 $λ$ ，使得 $A N ⊥ B M$ C、当 $μ = \frac{1}{2}$ ，且 $A N$ 与 $B M$ 相交时， $λ = \frac{2}{3}$ D、三棱锥 $E - B C D$ 的外接球在底面 $A B C D$ 上的截痕长为 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$

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