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相关试卷

1、已知抛物线 $C$ ： $y = - \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C$ 上一动点，点 $A (1, - 3)$ ，则（）

A、抛物线 $C$ 的准线方程为 $y = 2$ B、 $|P A| + |P F|$ 的最小值为5 C、当 $x_{0} = 4$ 时，则抛物线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程为 $x + y - 4 = 0$ D、过 $A F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $M, N$ 两点，则弦 $M N$ 的长度为16

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2、下列说法中正确的是（）

A、直线 $x + y + 1 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距是 $1$ B、直线 $m x + y + m + 2 = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(- 1, - 2)$ C、点 $(0, 0)$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称的点为 $(1, - 1)$ D、过点 $(1, 2)$ 且在 $x$ 轴､ $y$ 轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$

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3、设椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，点 $A (3 c, 0)$ 在椭圆外， $P$ ， $Q$ 在椭圆上，且 $P$ 是线段 $A Q$ 的中点. 若椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则直线 $P Q$ ， $Q F$ 的斜率之积为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4、数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8 $\dots$ 其中从第 $3$ 项起，每一项都等于它前面两项之和，即 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，这样的数列称为“斐波那契数列”，则下列各式中正确的选项为（）

A、 $a_{101} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{100}$ B、 $a_{101} = a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{99}$ C、 $a_{101} = a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{100}$ D、 $a_{101} = 2 (a_{3} + a_{6} + a_{9} + \dots + a_{99}) + 1$

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5、把正方形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成直二面角， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $C D$ 的中点， $O$ 是原正方形 $A B C D$ 的中心，则折纸后 $∠ E O F$ 的余弦值大小为（）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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6、已知函数 $f (x) = \cos x + \sin 2 x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $0$ C、 $- 2$ D、 $2$

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7、双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点到渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，若 $\vec{B E} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $(x, y, z) =$ （）

A、 $(- 1, \frac{1}{2}, 1)$ B、 $(1, \frac{1}{2}, 1)$ C、 $(1, - \frac{1}{2}, 1)$ D、 $(- 1, - \frac{1}{2}, 1)$

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9、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ ，则两圆的位置关系为（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、外离

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10、经过 $A (- 1, 2 \sqrt{3}), B (2, \sqrt{3})$ 两点的直线的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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11、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”．

(1)、判断 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1, (x \in [0, 4])$ 是否为 $f (x) = x + 4 (x \in [0, 5])$ 的“n重覆盖函数”，如果是，求出 $n$ 的值；如果不是，说明理由．

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (2 a - 3) x + 1, - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, x > 1 \end{array}$ ，为 $f (x) = \log_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ ，的“2重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2] = 1, [2] = 2, [- 1.2] = - 2$ ．若 $h (x) = a x - [a x], x \in [0, 2)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}, x \in [0, + \infty)$ 的“ $2023$ 重覆盖函数”请直接写出正实数 $a$ 的取值范围（无需解答过程）．

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12、如图，在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D$ ， $D$ 为垂足，且满足 $|P D| = \sqrt{2} |M D|$ ．当点 $P$ 在圆上运动时， $M$ 的轨迹为 $Ω$ ．

(1)、求曲线 $Ω$ 的方程；

(2)、点 $A (2, 0)$ ，过点 $A$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交曲线 $Ω$ 于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．已知 $G$ 为 $A B$ 的中点，是否存在定点 $Q$ ，对于任意 $k (k \neq 0)$ 都有 $O G ⊥ C Q$ ，若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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13、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $E F // A D$ ， $A E = 2 E F = 2$ ， $∠ E A D = 120^{\circ}$ ，平面 $A D F E ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $B D ⊥ C F$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $B D F$ 所成锐角的余弦值．

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14、树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；

(2)、如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；

(3)、若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A C$ ， $B C$ 上的两点 $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ ， $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求 $|\vec{A M}|$ 的值；

(2)、求证： $A M ⊥ P N$ ．

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16、设函数 $f (x) = \sin x - \cos x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $y = f (x + \frac{π}{2})$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值．

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17、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P，直线PF与C的一个交点为Q， ${\vec{O A}}^{2} - (\vec{O P} + \vec{O F}) \cdot \vec{O A} + \vec{O P} \cdot \vec{O F} = 0$ ，且 $\vec{Q P} = 5 \vec{F P}$ ，则C的离心率为．

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18、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) + \sin ω x (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上的值域为 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}]$ ，则实数 $ω$ 的取值范围是．

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19、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ， $A A_{1} = 8$ ，则该直三棱柱的外接球的表面积为．

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20、过 $P (1, \sqrt{3} + 1)$ 、 $Q (3, 3 \sqrt{3} + 1)$ 两点的直线的斜率为．

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