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相关试卷

1、已知复数 $z = 1 + a i$ （ $a > 0$ ），且 $|z| = 3$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2、迪卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“迪卡尔积”是一个很有趣的问题.
设 $A$ ， $B$ 是任意两个非空集合，则称集合 $A \times B = \{(a, b) |a \in A, b \in B\}$ 为“ $A$ 与 $B$ 的迪卡尔积”，并记集合 $A \times B$ 的元素个数为 $[A \times B]$ .

(1)、若 $A = {0, 1}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ，求 $A \times B$ 与 $B \times A$ ；

(2)、若 $[A \times B] = m^{2}$ ， $[A] \neq [B]$ ， $m$ 为素数，且 $\frac{[A \times A] + 81 \times [B \times B]}{[A \times B]} \geq a$ 对任意素数 $m$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围，并写出当 $a$ 取到最值时 $m$ 应满足的条件及一组符合条件的集合 $A$ ， $B$ .
（提示：当 $x \geq n$ ，且 $n > \frac{1}{\sqrt{a}}$ 时，式子 $\frac{1}{x} + a x (a > 0, x > 0)$ 在 $x = n$ 处取得最小值.）

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3、在“基本不等式”应用探究课中，老师提出了下列问题：已知正实数a，b满足 $2 a + b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值.
甲、乙两位同学对该问题给出了两种不同的解法，甲给出的解法是：
$1 = 2 a + b \geq 2 \sqrt{2 a b} \Rightarrow \sqrt{a b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{2}$ ， $∴ \frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{2 a b}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$ ，
所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为4.
乙给出的解法是： $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}) (2 a + b) = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{1}{2} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$ ，
所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$ .

(1)、请你判断哪位同学的解法正确，并指出解法错误的原因；

(2)、结合上面的材料，求解下面的问题：
①已知正实数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，求 $2 a + b$ 的最小值，并求出取得最小值时a，b的值；
②已知 $0 < x < \frac{2}{3}$ ，试求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 - 3 x}$ 的最小值，并求出取得最小值时 $x$ 的值.

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4、如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为 $200 m^{2}$ 的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/ $m^{2}$ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/ $m^{2}$ ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/ $m^{2}$ .设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.

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5、已知集合 $A = \{x |x \leq 1 - a$ 或 $x > 1 + a\}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x \geq 2\}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、根据下述事实，写出一个含有量词的命题是.
$1^{3} = 1^{2}$ ，
$1^{3} + 2^{3} = {(1 + 2)}^{2}$ ，
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = {(1 + 2 + 3)}^{2}$ ，
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = {(1 + 2 + 3 + 4)}^{2}$
……

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7、设集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 4 = 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} = 1\}$ ，则 $A \cup B =$ .

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8、关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 2 x + a = 0$ 恰有一个实数根的充分不必要条件可以是（）

A、 $a < 2$ B、 $a = 1$ 或 $a = - 1$ C、 $a = 0$ 或 $a = \pm 1$ D、 $a = 0$

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9、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10、已知集合 $A = \{x \in N | 1 \leq x \leq 2\}$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $0 \notin A$ B、 $2 \in A$ C、 $\{x | 1 < x < 2\} \subseteq A$ D、 $\{2\} \subseteq A$

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11、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（）

A、大于10g； B、小于10g； C、等于10g； D、不能判断大小．

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12、若 $x > 0$ ，则 $f (x) = 2 - x - \frac{4}{x}$ （）

A、最大值为 $- 2$ B、最小值为 $- 2$ C、最大值为6 D、最小值为6

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13、已知集合 $A = \{x |1 < x \leq a\}$ ， $B = \{x |1 < x \leq 2\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a < 2$ D、 $a \leq 2$

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14、下列命题为真命题的是（）

A、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分不必要条件 B、“ $A \cup B = A$ ”是“ $B \subseteq A$ ”的必要不充分条件 C、“ $a = 1$ ”是“ $a^{2} = 1$ ”的充要条件 D、“ $x > 1$ ”是“ $x < 2$ ”的既不充分也不必要条件

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15、做一个体积为 $8 m^{3}$ ，高为 $2 m$ 的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（）

A、 $4 m^{2}$ B、 $8 m^{2}$ C、 $16 m^{2}$ D、 $24 m^{2}$

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16、下列命题为假命题的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$

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17、命题“ $\exists x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 < 0$ B、 $\exists x \notin R$ ， $x + 1 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 < 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x + 1 \geq 0$

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18、设集合 $A = {3, 5, 6, 8}$ ， $B = {4, 5, 7, 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${3, 4, 5, 6, 7, 8}$ B、 ${5, 8}$ C、 ${6, 8}$ D、 ${8}$

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19、若函数 $y = f (x)$ 对定义域上的每一个值 $x_{1}$ ，在其定义域上都存在唯一的 $x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 1$ 成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”.

(1)、判断函数 $g (x) = sin x$ 在 $R$ 上是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = 2^{x - 1}$ 在定义域 $[0, m]$ 上为“依赖函数”，求实数 $m$ 的值；

(3)、当 $a \geq \frac{4}{3}$ 时，已知函数 $h (x) = {(x - a)}^{2}$ 在定义域 $[\frac{4}{3}, 4]$ 上为“依赖函数”，若存在实数 $x \in [\frac{4}{3}, 4]$ ，使得对任意的 $t \in R$ ，不等式 $h (x) \geq - t^{2} + s - 2 t + 4$ 都成立，求实数 $s$ 的最大值.

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20、已知函数 $f (x) = \ln x - x + 1, g (x) = e^{x} - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、当 $x \in [2, + \infty)$ 时，证明： $g (x) > 2 x (x - 1)$ .

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