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相关试卷

1、一般地，任何一个复数 $a + b i$ （a， $b \in R$ ）可以写成 $r (\cos θ + i \sin θ)$ ，其中r是复数的模， $θ$ 是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在 $0 \leq θ < 2 π$ 范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如 $\arg 1 = 0$ ， $\arg i = \frac{π}{2}$ ， $\arg (1 + \sqrt{3} i) = \frac{π}{3}$ .发现 $z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} (\cos θ_{1} + isin θ_{1}) \cdot r_{2} (\cos θ_{2} + isin θ_{2}) = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + isin (θ_{1} + θ_{2})]$ ，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1， $\sqrt{3}$ 的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为 $z_{n}$ .

(1)、写出一次操作后所有可能的复数；

(2)、当 $n = 2$ ，记 $|z_{n}|$ 的取值为X，求X的分布列；

(3)、求 $z_{n}^{2}$ 为实数的概率 $Q_{n}$ .

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆C的方程为： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，定点 $F (1, 0)$ ， B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.

(1)、求点T的轨迹W的方程；

(2)、已知点 $A (- 2, 0)$ ，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线 $x = 3$ 交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.

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3、如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $C P = C A = C B$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $∠ A C B$ 为钝角，且二面角 $B - P A - C$ 的大小为 $45^{°}$ ，求 $\cos ∠ A C B$ .

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 \ln x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线垂直于直线 $2 x + y = 0$ ，求a的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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5、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $a \cos C + a \sin C - b - c = 0$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值.

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6、一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是.

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7、已知 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中 $x^{3}$ 项的系数为.（用数字作答）

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8、如图， $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 都垂直于底面 $A B C D$ ，且 $D D_{1} = \frac{3}{2} A A_{1} = \frac{3}{2} C C_{1} = 3 B B_{1} = 3$ ，点 $E$ 在线段 $C C_{1}$ 上，平面 $B E D_{1}$ 交线段 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，则（）

A、 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 四点不共面 B、该几何体的体积为8 C、过四点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B$ ， $D$ 四点的外接球表面积为 $12 π$ D、截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长的最小值为10

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 3$ ，且 $3 (n + 1) a_{n} - n a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\{n a_{n}\}$ 为等比数列 B、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = n \cdot 3^{n}$ D、 $S_{n} = \frac{(2 n - 1)}{4} \cdot 3^{n + 1} + \frac{3}{4}$

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10、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $ξ \sim B (8, \frac{1}{4})$ ，则 $D (ξ) = \frac{3}{2}$ B、残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C、若随机变量 $η \sim N (μ, σ^{2})$ ，则当 $μ$ 减小时， $P (|η - μ| < σ)$ 保持不变 D、一组数据的极差不小于该组数据的标准差

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11、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且不恒为0的连续函数，若 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ， $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 的周期为2 D、 $- 2 \leq f (x) \leq 2$

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12、某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（）

A、 $\frac{8}{15}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13、已知圆锥的侧面展开图是一个面积为 $π$ 的半圆，则该圆锥的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、“直线 $a x + b y - 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 有公共点”是“ $a^{2} + b^{2} \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x - 1, x \leq 0 \\ ln (x + 1), x > 0 \end{array}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2] \cup [e, + \infty)$ B、 $[- 2, e]$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [e - 1, + \infty)$ D、 $[- 2, e - 1]$

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16、下列四个函数中，以 $(\frac{π}{2}, 0)$ 为其对称中心，且在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增的是（）

A、 $y = cos x$ B、 $y = tan x$ C、 $y = sin x$ D、 $y = |cos x|$

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17、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的单位向量，若 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = λ \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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18、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{2, 3, 4, 5\}$ ，则图中阴影部分对应的集合为（）

A、 $\{1\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{4, 5\}$ D、 $\{6\}$

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19、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象的对称中心；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的最值.

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20、设函数 $f (x) = \sin 2 x$ ， $x \in R$ .
（Ⅰ）已知 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，函数 $g (x) = f (x + θ)$ 关于直线 $y = \frac{π}{6}$ 对称，求 $θ$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{12})]}^{2} + {[f (x + \frac{π}{4})]}^{2}$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上的值域.

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