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相关试卷

1、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D D_{1} = C D = A D = 2 A B = 2$ ， $A B / / C D$ ，点E为棱 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A E / /$ 平面 $B C D_{1}$ ；

(2)、若 $A D ⊥ C D$ ，求直线AE到平面 $B C D_{1}$ 的距离.

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2、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (0, 4)$ ， $B (- 2, 0)$ ， $C (8, 0)$ ，求：

(1)、线段AB的垂直平分线的方程；

(2)、 $△ A B C$ 的外接圆的方程.

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3、如图，在第一象限，圆 $C_{n} (n \in N^{*})$ 均与直线 $y = 0$ 和 $y = \sqrt{3} x$ 相切，且圆 $C_{n}$ 与圆 $C_{n + 1}$ 外切，设第n个圆的半径为 $r_{n}$ ，面积为 $S_{n}$ ，则 $\frac{r_{1}}{r_{2}} =$ ，若 $r_{2} = 3$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} S_{i} =$ $. ($ 用含n的式子表示 $)$

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4、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点，F是抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，若 $△ F_{1} F F_{2}$ 是等边三角形，则该抛物线的方程为.

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5、已知向量 $\vec{a} = (m, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, n)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m + n =$ .

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6、如图，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分 $∠ F_{1} P F_{2} .$ 过点 $F_{2}$ 作l的垂线，垂足为N，延长 $F_{1} P$ 、 $F_{2} N$ 交于点Q，若 $cos ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{7}{8}$ ， $|M F_{1} |= 2| M F_{2}|$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{|P F_{1}|}{|P F_{2}|} = 2$ B、 $\frac{S_{△ Q F_{1} F_{2}}}{S_{△ P F_{1} F_{2}}} = \frac{3}{2}$ C、椭圆C的离心率为 $\frac{3}{4}$ D、 $|O N| = a$

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7、已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 2$ ， $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 为常数列 B、 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为单调递增数列 C、 $3 S_{n} > a_{n}^{2}$ D、 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前n项和恒小于1

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8、已知双曲线C的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，且C过点 $(\sqrt{3}, 2)$ ，则（）

A、C的焦点在y轴上 B、C的方程为 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、C的焦点到其渐近线的距离为 $2 \sqrt{2}$ D、直线 $2 x - y - 1 = 0$ 与C有两个公共点

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9、已知直线l经过抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若 $|A F| = 3 |B F|$ ，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{3}$ C、 $18 \sqrt{3}$ D、 $24 \sqrt{3}$

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10、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线 $A B_{1}$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $A A_{1}$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、1或 $2 \sqrt{3}$ C、12 D、1或12

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11、已知 $b_{n} = l n a_{n} (n \in N^{*})$ ，则“ $\{a_{n}\}$ 为正项等比数列”是“ $\{b_{n}\}$ 为等差数列”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知圆C： $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ ，直线l： $m x + y - 2 m - 3 = 0$ ，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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13、如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点， $\vec{A E} = 4 \vec{A F}$ ，则（）

A、 $\vec{D F} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C} - \vec{A D}$ B、 $\vec{D F} = \frac{1}{8} \vec{A B} + \frac{1}{8} \vec{A C} - \vec{A D}$ C、 $\vec{D F} = - \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C} + \vec{A D}$ D、 $\vec{D F} = - \frac{1}{8} \vec{A B} - \frac{1}{8} \vec{A C} + \vec{A D}$

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14、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 12$ ， $a_{4} = 2$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、 $- 5$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、1

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15、已知直线 $l_{1}$ ： $3 x - 2 y + 6 = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $4 x + a y + 3 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数a的值为（）

A、 $- 6$ B、 $- \frac{8}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、6

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16、下列结论中正确的是（）

A、若变量 $y$ 与 $x$ 之间的相关系数 $r > 0$ ，则 $y$ 与 $x$ 正相关 B、由样本数据得到的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、已知 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (B | A) = \frac{2}{9}$ D、已知随机变量 $ξ ~ B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $E (ξ) = 2$

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17、在平面直角坐标系中，锐角 $α$ 、 $β$ 的终边分别与单位圆交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、如果 $A$ 点的纵坐标为 $\frac{5}{13}$ ， $B$ 点的横坐标为 $\frac{3}{5}$ ，求 $\cos (a + β)$ 的值；

(2)、若角 $a + β$ 的终边与单位圆交于 $C$ 点，经点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别作 $x$ 轴垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ 、 $P$ ．求证：线段 $M A$ 、 $N B$ 、 $P C$ 能构成一个三角形；

(3)、探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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18、已知向量 $\overset{⃑}{a} = 3 \overset{⃑}{e_{1}} - 2 \overset{⃑}{e_{2}}$ ， $\overset{⃑}{b} = 4 \overset{⃑}{e_{1}} + \overset{⃑}{e_{2}}$ ，其中 $\overset{⃑}{e_{1}} = (1, 0)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (0, 1)$ ．

(1)、求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ， $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ ；

(2)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角的余弦值．

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19、南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在 $△ A B C$ 中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若 $b = 3$ ，且 $\frac{1 - \sqrt{3} \cos B}{\sqrt{3} \sin B} = \frac{\cos C}{\sin C}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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20、已知点M是边长为2的正 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为.

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