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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的首项为1，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，证明：若 $\forall n \in N^{*}, \frac{2 b_{1}}{a_{1}} + \frac{2 b_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{2 b_{n}}{a_{n}} \geq 1$ .

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2、下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.
若第1个图中的三角形的周长为1，则第 $n$ 个图形的周长为
若第1个图中的三角形的面积为1，则第 $n$ 个图形的面积为.

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3、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ ，若方程 $f (x) - k = 0$ 有2个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是.

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4、如图，已知直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $O A ⊥ O B, O D ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，则（）

A、若点 $D$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，则 $p = \frac{5}{4}$ B、直线 $l$ 恒过定点 $(p, 0)$ C、点 $D$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 p x = 0 (x \neq 0)$ D、 $△ A O B$ 的面积的最小值为 $4 p^{2}$

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5、已知 $f (x) = a x - e^{a x}, x \in R$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $R$ B、 $a \neq 0$ 时， $f (x)$ 恒有极值点 C、 $g (x) = f (x) - \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 恒有零点 D、对于 $x \in R, f (x) \leq (1 - e) a x$ 恒成立

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6、已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为 $36 π$ ，且 $3 \leq l \leq 4 \sqrt{2}$ ，则该正四棱锥体积的最大值是（）

A、18 B、 $\frac{81}{4}$ C、 $\frac{64}{3}$ D、27

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7、已知 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数，设 $a = \sqrt{3} - \frac{3}{e}, b = \sqrt{2} - \frac{2}{e}, c = e^{\sqrt{2} - 1} - \ln 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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8、如图，二面角 $α - l - β$ 等于135°， $A$ ， $B$ 是棱 $l$ 上两点， $B D$ ， $A C$ 分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $B D = \sqrt{2}$ ，则 $C D =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{14}$ D、4

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9、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $E$ 为 $P D$ 中点，若 $\vec{P A} = \vec{a}, \vec{P B} = \vec{b}, \vec{P C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{B E}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{3}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{c}$

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10、定义在 $R$ 上的函数 $g (x)$ 和二次函数 $h (x)$ 满足： $g (x) + 2 g (- x) = e^{x} + \frac{2}{e^{x}} - 9$ ， $h (- 2) = h (0) = 1$ ， $h (- 3) = - 2$ ．
（1）求 $g (x)$ 和 $h (x)$ 的解析式；
（2）若对于 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in [- 1, 1]$ ，均有 $h (x_{1}) + a x_{1} + 5 \geq g (x_{2}) + 3 - e$ 成立，求 $a$ 的取值范围；
（3）设 $f (x) = \{\begin{array}{l} g (x), x > 0 \\ h (x), x \leq 0 \end{array}$ ，在（2）的条件下，讨论方程 $f [f (x)] = a + 5$ 的解的个数．

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11、已知 $- 2 < x - y < 0$ ， $1 < 2 x + y < 3$ ．

(1)、分别求x与y的取值范围；

(2)、求8x + y的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 图象的对称轴方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的单调递增区间．

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13、下列函数中，与y＝x是同一个函数的是（）

A、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $y = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = \ln e^{x}$ D、 $y = 10^{\lg x}$

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14、正实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + \frac{9}{b} = 1$ ，若不等式 $\frac{1}{a} + b \geq - x^{2} + 4 x + 18 - m$ 对任意正实数 $a$ 、 $b$ 以及任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[3, + \infty)$ B、 $[3, 6]$ C、 $[6, + \infty)$ D、 $(- \infty, 6]$

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15、数学中一般用 $\min \{a, b\}$ 表示a、b中的较小值，关于函数 $f (x) = \min \{\sin x + \sqrt{3} \cos x, \sin x - \sqrt{3} \cos x\}$ 有如下四个命题：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{3 π}{2}$ 对称；
③ $f (x)$ 的值域为 $[- 2, 2]$ ；④ $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ 上单调递增.
其中真命题的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买 $10 g$ 黄金，售货员现将 $5 g$ 的砝码放在天平的左盘中，取出 $x g$ 黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将 $5 g$ 的砝码放在天平右盘中，再取出 $y_{g}$ 黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（）

A、 $x + y > 10$ B、 $x + y = 10$ C、 $x + y < 10$ D、以上都有可能

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17、关于函数 $y ＝ t a n (2 x - \frac{π}{3})$ ，下列说法正确的是(　　)

A、是奇函数 B、在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递减 C、 $(\frac{π}{6}, 0)$ 为其图象的一个对称中心 D、最小正周期为π

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18、函数 $f (x) = \frac{\lg (x + 1)}{x^{2} + 2 x}$ 的定义域为（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, + \infty)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $[- 1, 0) \cup (0, + \infty)$

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19、设 $x \in R$ ，则“ $|x + 1| < 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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20、已知全集 $U = {0,1, 2,3, 4}$ ， $A = {1,3}$ ， $B = {0,1, 2,4}$ ，则( $∁_{U} A$ ) $\cap B$ =（）

A、{ $0$ } B、{ $2$ } C、{ $0, 2$ } D、{ $0,2, 4$ }

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