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相关试卷

1、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $y = f (x)$ ，满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ， $f (2023^{2}) = 1$ ，当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是个增函数；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (x - 2022) < \frac{1}{2}$ .

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2、已知函数 $f (x) = |x + 3 |-| x - 1|$ .

(1)、用分段函数的形式表示该函数；

(2)、在平面直角坐标系中直接画出函数 $y = f (x)$ 的图象；

(3)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a - 1, a^{2}] （ a \in R ）$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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3、若定义运算 $a ⊙ b = \{\begin{array}{l} b, a ⩾ b \\ a, a < b \end{array}$ ，则函数 $f (x) = x ⊙ (2 - x)$ 的值域是.

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4、若命题“ $\forall x \in R, k x < x^{2} + k$ 成立”是假命题，则实数 $k$ 的取值范围是．

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5、命题“ $\forall x \in R, m x^{2} - 2 m x + 1 > 0$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围为.

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6、函数 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x - 3 |x + 1| + 3$ ，则下列函数的图象中关于 $y$ 轴对称的函数有（）

A、 $f （ x ）$ B、 $f （ x - 1 ）$ C、 $f (|x + 1|)$ D、 $f (|x|)$

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7、下列函数中，在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上单调递减的函数是（）

A、 $y = sin (x + \frac{π}{4})$ B、 $y = \sqrt{3} sin x - cos x$ C、 $y = |sin 2 x|$ D、 $y = cos (x - \frac{π}{3})$

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8、设函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且 $f (x)$ 是 $(1, + \infty)$ 上的增函数，则 $a = f ({0.6}^{\frac{2}{3}})$ ， $b = f ({0.7}^{\frac{2}{3}})$ ， $c = f ({0.7}^{\frac{1}{3}})$ 的大小联系是

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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9、函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + a}$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x - b - 1 \leq 0$ 的解集是 $[- 2, 5]$ ，那么 $\log_{a} b =$ （）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（）

A、 $y = x^{0} - 1$ 与 $y = 0$ B、 $y = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}$ 与 $y = \sqrt{x^{2} - 4}$ C、 $y = x$ 与 $z = \sqrt[3]{y^{3}}$ D、 $y = x^{2} + x$ 与 $y = \frac{x^{3} + x^{2}}{x}$

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12、“ booknote中字母”构成一个集合，该集合的元素个数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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13、双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支交于 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 两点，过 $B_{1}$ 作直线 $B_{1} A_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，交曲线 $E$ 的另外一个点为 $A_{2}$ ，过 $A_{2}$ 作平行于 $l$ 的直线交曲线 $E$ 的另外一个点为 $B_{2}$ ，以此类推 $\dots \dots$ ，直线 $B_{n} A_{n + 1}$ 垂直于 $x$ 轴，直线 $A_{n} B_{n} (n \geq 2)$ 平行于 $l$ ，得到点列 $A_{1}, A_{2}, A_{3} \dots; B_{1}, B_{2}, B_{3} \dots$ ；记点 $A_{i} (i = 1, 2, 3 \dots)$ 的坐标为 $(x_{i}, y_{i})$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若 $l$ 过双曲线 $E$ 的右焦点 $F$ ，证明直线 $A_{1} A_{2}$ 过定点；

(3)、若 $k = 2$ 且 $A_{1}$ 为双曲线右顶点， $M (\sqrt{2}, - 1)$ ，记 $a_{n} = \vec{O M} \cdot \vec{O A_{n}}$ ，求 $a_{10}$ 的值．

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14、已知 $△ A B C$ 的周长为定值， $O (0, 0)$ 、 $A (- \sqrt{3}, 0)$ 、 $B (\sqrt{3}, 0)$ ， $∠ C$ 的最大值为 $\frac{2π}{3}$ ．

(1)、求动点 $C$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、 $D$ 为 $E$ 的左顶点，过点 $(1, 0)$ 且不与坐标轴垂直的直线与 $E$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，线段 $M N$ 的中点为 $P$ ，记直线 $O P$ 的斜率为 $k$ ， $△ D M N$ 的外心为 $Q (x_{Q}, y_{Q})$ ，求 $k \cdot x_{Q}$ 的最大值．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $3 S_{n} = S_{n - 1} + 2 n + 2 (n \geq 2)$ ， $S_{1} = \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $c_{n} = n [a_{n} + \cos (n π) - 1]$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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16、如图 $A B = A D = 1, A C = 2, B C = \sqrt{5}, \cos ∠ D A B = \frac{3}{5}$ ，点D在平面 $A B C$ 内的射影点H在线段 $A B$ 上，E为 $B D$ 中点，F为 $C E$ 中点．

(1)、证明：平面 $A C E ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $A D F$ 所成锐二面角的余弦值．

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17、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，其公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{b_{n}\}$ 为等比数列，其公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $d = q \neq 1$ ， $a_{5} = T_{3}$ ， $S_{9} = T_{6}$ ， $a_{1} = 6$ ．

(1)、求公差 $d$ 和 $b_{1}$ ；

(2)、记 $c_{n} = \frac{b_{n}}{(b_{n + 1} - 1) (b_{n} - 1)}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < 1$ ．

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18、已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ ，过点 $M (m, 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $\frac{1}{{|A M|}^{2}} + \frac{1}{{|B M|}^{2}}$ 为定值，则实数 $m$ 的值为．

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19、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} + a_{6} = 27$ ， $S_{6} = 39$ ，则 $S_{2} =$

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20、已知实数 $m > 0$ ，若圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ 上恰有三个点到直线 $l : y = x + m$ 的距离为 $1$ ，则 $m$ 的值为．

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