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相关试卷

1、已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标 $F (1, 0)$ ，斜率为 $- 1$ 的直线l与C相交于A，B．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、若 $|A F| + |B F| = 10$ ，求l的方程．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*}),$ 且 $a_{5}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列，

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值及此时n的值．

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3、等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 7$ ，前 $3$ 项之和 $S_{3} = 21$ ，则公比 $q$ 的值是.

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆的左、右顶点， $P$ 为 $C$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $6$ B、 $|P F_{1}|$ 的最大值为 $3$ C、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率的乘积为 $- \frac{3}{4}$

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5、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，公差为d， $a_{10} < 0$ 且 $a_{10} + a_{11} > 0$ 则下列结论正确的有（）

A、 $d > 0$ B、 $S_{9} = S_{10}$ C、 $S_{19} < 0$ D、 $S_{20} > 0$

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6、小明为锻炼身体，增强体质，计划从假期第一天开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若小明打算用20天跑完98公里，则预计这20天中小明日跑步量超过6公里的天数为（）

A、8 B、9 C、4 D、5

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7、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交双曲线右支于 $M$ 点，若 $M F_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率为

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{2}$

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8、过点 $P (2, 3)$ 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$ C、 $x + y - 5 = 0$ D、 $x + y - 5 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$

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9、已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则 $E$ 的焦距等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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10、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{11} = 24$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8}$ 的值是（）

A、36 B、48 C、72 D、24

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11、中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出 $x$ 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本 $V (x)$ （单位：万元），已知当 $0 < x \leq 5$ 时， $V (x) = 125$ ；当 $5 < x \leq 20$ 时， $V (x) = x^{2} + 40 x - 100$ ；当 $x > 20$ 时， $V (x) = 81 x + \frac{1600}{x} - 600$ ，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.

(1)、已知2024年该型芯片生产线的利润为 $P (x)$ （单位：万元），试求出 $P (x)$ 的函数解析式；

(2)、请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.

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12、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点O为 $B D$ 的中点，且点P满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， $0 \leq μ \leq 1$ ，则点P的轨迹长度为1 B、若 $λ + μ = 1$ ，则 $A C_{1} ⊥ D_{1} P$ C、若 $λ = 1$ ， $μ = \frac{1}{2}$ ，则 $V_{P - A_{1} B D} = 2$ D、若 $λ = 1$ ， $0 \leq μ \leq 1$ 时，直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\cos θ \in [0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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13、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的增函数，且 $f (x - 1) < f (1 - 3 x)$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1]$ D、 $[- 1, \frac{1}{2})$

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14、已知 $k \in R$ ，若直线l： $y = k x + 1$ 经过点 $(1, 0)$ ，则直线l的倾斜角为.

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15、函数 $f (x) = ln (a x^{2} - 4 a x + 8)$ 定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 2)$ B、 $(- \infty, 0] \cup (2, + \infty)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

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16、已知离心率为 $e_{1}$ 的椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 和离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0,$ $b_{2} > 0)$ 有公共的焦点，其中 $F_{1}$ 为左焦点， $P$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限的公共点．线段 $P F_{1}$ 的垂直平分线经过坐标原点，则 $2 e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为．

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + a x, (x \leq 1) \\ a^{2} x - 7 a + 14, (x > 1) \end{matrix}$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ．
（1）求实数a的取值集合A；
（2）若 $a \in A$ ，且函数 $g (x) = 1 g [a x^{2} + (a + 3) x + 4]$ 的值域为R，求实数a的取值范围．

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18、已知函数 $f (x) = 4 x - \frac{a}{x}$ ，且 $f (1) = 3$ ．

(1)、求实数a的值，并用单调性定义证明 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、若当 $x \in [1, m] (m > 1)$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{15}{2}$ ，求实数m的值．

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19、已知 $f (x) = \frac{\cos (\frac{π}{2} + x) \cos (- x) \sin (\frac{3 π}{2} - x)}{\sin (- π - x) \cos (2 π - x)}$
（Ⅰ）化简 $f (x)$ ；
（Ⅱ）若 $x$ 是第三象限角，且 $\tan x = 2$ ，求 $f (x)$ 的值.

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20、（1）已知函数 $f (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 3$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）解不等式 $\frac{2 x + 1}{1 - x} \leq 1$ ．

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