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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 ln x - (a + 1) x^{2} - 2 a x + 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，
①求实数 $a$ 的取值范围；
②证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{2}{a + 1}$ ．

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} + a \ln x - (a + 2) x$ ， $g (x) = x \ln x - x - a + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) + 1 \geq g (x) + a \ln x$ 对任意 $x \geq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $3 a_{n} = 2 S_{n} + 2 n (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 为等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = {log}_{3} (a_{2 n + 1} + 1)$ ，求数列 $\{\frac{b_{n}}{a_{n} + 1}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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4、已知 ${(a x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中所有项的二项式系数和为 $128$ ，各项系数和为 $- 1$ ．

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值及展开式中 $x^{- 4}$ 项的系数；

(2)、求 $(2 x - \frac{1}{x^{2}}) {(a x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中的常数项．

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5、已知函数 $f (x) = ln x + \frac{a}{x} (a \in R)$ 在区间 $[e^{- 2}, + \infty)$ 上有两个零点，则 $a$ 的取值范围是．

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6、若直线 $y = 2 x + b$ 与函数 $f (x) = e^{x} + x - a$ 的图象相切，则 $a + b =$ .

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 3^{n + 1} (n \in N^{*})$ ，首项为 $a_{1} = 3$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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8、在直角坐标系内，由 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点所确定的“ $N$ 型函数”指的是三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，其图象过 $A$ ， $D$ 两点，且 $f (x)$ 的图像在点 $A$ 处的切线经过点 $B$ ，在点 $D$ 处的切线经过点 $C$ .若将由 $A (0, 0)$ ， $B (1, 4)$ ， $C (3, 2)$ ， $D (4, 0)$ 四点所确定的“ $N$ 型函数”记为 $y = f (x)$ ，则下列选项正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点 $D$ 处的切线方程为 $y = - 2 x + 8$ B、 $f (x) = \frac{1}{8} x (x - 4) (x - 8)$ C、曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(4, 0)$ 对称 D、当 $4 \leq x \leq 6$ 时， $f (x) \geq 0$

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9、现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（）

A、若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 $4^{5}$ B、若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 $A_{5}^{4} C_{4}^{1}$ C、每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 $C_{3}^{1} C_{4}^{2} A_{3}^{3} + C_{3}^{2} A_{3}^{3}$ D、如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 $(C_{5}^{3} C_{2}^{1} + C_{5}^{2} C_{3}^{2}) A_{3}^{3}$

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10、若 ${(2 x - 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $a_{2} = 180$ B、 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{10}| = 3^{10}$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 1$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{10}}{2^{10}} = - 1$

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11、从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件 $A =$ “取到的两个数之和为偶数”，事件 $B =$ “取到的两个数均为偶数”，则 $P (B ∣ A) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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12、已知 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ ，该函数在 $x = - 1$ 时有极值0，则 $a + b =$ （）

A、4 B、7 C、11 D、4或11

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13、如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（）

A、96 B、144 C、480 D、600

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14、已知函数 $f (x) = a ln x - \frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ 在定义域内单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 9, + \infty)$ B、 $(- 9, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 9)$ D、 $(- \infty, - 9]$

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15、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中，点 $B$ 在平面 $A C D$ 的射影 $H$ 恰在 $C D$ 上， $M$ 为 $H C$ 中点， $∠ B A H = \frac{π}{6}$ ， $A B = 2$ ， $S_{△ A B M} = S_{△ A B D} = 1$ .

(1)、若 $C D ⊥$ 平面 $B A H$ ，证明： $M$ 是 $C D$ 的三等分点；

(2)、记 $D$ 的轨迹为曲线 $W$ ，判断 $W$ 是什么曲线，并说明理由；

(3)、求 $C D$ 的最小值.

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16、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $\sin^{2} A + \sin^{2} B = 2 + \cos 2 C$ .

(1)、证明： $\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$ ；

(2)、求 $\frac{\sin C}{\sin A \sin B}$ 的最值；

(3)、若 $c = 6$ ， $A \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的取值范围.

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17、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = n^{2} a_{n}$ .

(1)、求 $a_{3}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、证明： $S_{n} < a_{n} + n$ .

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18、已知函数 $f (x) = \frac{x}{\ln^{3} x} (x \neq 1)$

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明： $27 e^{x - 4} > \ln^{3} x$ .

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19、已知某早餐牛奶店甲推出了A和B两款新口味牛奶，另外一家早餐包子铺乙推出了一款新品包子C.且早餐牛奶店甲向某小区的一名用户配送A款新口味牛奶的概率为0.7，配送B款新口味牛奶的概率为0.5，同时配送A和B的概率为0.3；早餐包子铺乙向该用户配送新品包子C的概率为0.6，且甲店与乙店的配送结果互不影响.

(1)、在甲店没有向该用户配送A款新口味牛奶的条件下，求它向该用户配送B款新口味牛奶的概率；

(2)、求这两家店至少向该用户配送A、B、C中的一种的概率.

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20、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线交x轴于点Q，斜率为2的直线 $l$ 交 $C$ 于第一象限的点M，N，M在N的左侧，若第三象限内存在点P，满足 $\vec{P M} = \vec{M N}$ ，且 $\vec{P Q}$ 在 $\vec{M N}$ 上的投影数量为 $- \sqrt{5}$ ，则 $p$ 的取值范围为．（平面内向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影数量为 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ ）

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