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相关试卷

1、甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，没有平局，各局比赛的结果互不影响.约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束.设最终比赛局数为 $X$ ，则 $P (X = 6) =$ .

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2、函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.

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3、如图，已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过原点 $O$ 作射线 $O T$ 交圆 $C$ 于点 $A$ （异于 $O$ 点），交直线 $x = 2$ 于点 $B$ （异于点 $A$ ），再以 $O$ 为圆心、线段 $A B$ 的长为半径作圆与射线 $O T$ 交于点 $M$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .设 $| O M | = r$ ， $∠ T O C = θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、曲线 $E$ 上所有点的横坐标的取值范围是 $(0, 2)$ B、 $r = \frac{2 \sin^{2} θ}{\cos θ}$ C、曲线 $E$ 的方程为 $y^{2} = \frac{x^{2}}{2 - x}$ D、过点 $M$ 且与 $O M$ 垂直的直线必与抛物线 $y^{2} = - 8 x$ 相切

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4、已知函数 $f (x) = a x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x (a \in R)$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处取得极值，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $(3 t, t + 1)$ 上单调递增，则实数 $t$ 的取值范围是 $(- \infty, - 2] \cup [\frac{1}{6}, \frac{1}{3}]$ B、 $f (x)$ 有3个零点 C、 $f (x)$ 在 $[- 2, 1]$ 上的最小值为 $- \frac{4}{3}$ D、 $f (x + 1) > f (x - \frac{3}{2})$ 在R上恒成立

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5、下列说法正确的是（）

A、数据 $5$ 、 $8$ 、 $10$ 、 $12$ 、 $13$ 的第 $40$ 百分位数是 $9$ B、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $P (X < - 2) = P (X > 4) = 0.14$ ，则 $P (- 2 < X < 1) < 0.35$ C、 $20$ 张彩票中只有 $2$ 张能中奖，现从中一次性抽取 $n$ 张，若其中至少有一张中奖的概率大于 $0.5$ ，则 $n$ 的最小值为 $6$ D、已知数据 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{6}$ 的平均数为 $6$ ，方差为 $10$ ，现加入 $5$ 和 $7$ 两个数，则这 $8$ 个数的方差 $s^{2} < 8$

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6、已知函数 $f (x) = |\frac{\ln x}{x}|$ ， $a = f (f (4))$ ， $b = f (f (\ln 3))$ ， $c = f (f (e^{\frac{1}{2}}))$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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7、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调，在 $x = 1$ 处取得最大值，且 $f (- \frac{1}{2}) + f (1) = 0$ .将曲线 $y = f (x)$ 向左平移1个单位长度，得到曲线 $y = g (x)$ ，则函数 $y = x g (x) - x^{2} - \frac{1}{4}$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的零点个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8、下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \leq 2 x_{1} + 2 x_{2}$ ”的是（）

A、 $f (x) = x + \sin x$ B、 $f (x) = 4 x - x^{3}$ C、 $f (x) = 2 \ln (x + 1)$ D、 $f (x) = x | x |$

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9、已知向量 $\vec{a} = (x, 2 - x)$ ， $\vec{b} = (y, \frac{4}{y})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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10、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且满足 $\sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{12}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$

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11、苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为 $2 a$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π a^{3}$ B、 $\sqrt{3} π a^{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π a^{3}$ D、 $4 \sqrt{3} π a^{3}$

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12、已知复数 $z_{1}$ 与 $z = 2 - 4 i$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 $\frac{z_{1}}{1 - i} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + i$

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13、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} < 5\}$ ， $B = {- 1, 0, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${0, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 2}$

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14、已知定义域为 $R$ 的单调减函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{3} - 2^{x}$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，虚轴长为4.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = m x + 1$ 与双曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $△ A O B$ 的面积是 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ D C, A B$ $/ /$ $D C$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = A D = 1, M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P D = 1$ ，求平面 $P D M$ 和平面 $B D M$ 夹角的余弦值.

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17、已知 $A (1, 2) ､ B (3, 6)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 4$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、求过点 $A (1, 2)$ 且与曲线 $C$ 相切的直线的方程.

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}, O$ 为坐标原点，若在 $C$ 的右支上存在关于 $x$ 轴对称的两点 $P, Q$ ，使得 $△ P F_{1} Q$ 为正三角形，且 $O Q ⊥ F_{1} P$ ，则 $C$ 的离心率为.

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19、已知空间中的三点 $A (- 2, 0, 2), B (- 1, 1, 2), C (- 3, 0, 4)$ ，则点 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为．

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20、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则（）

A、 $B F ⊥ D E$ B、该三棱柱的体积为4 C、过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点截该三棱柱的截面面积为 $\sqrt{5}$ D、直线 $D E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{1}{2}$

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