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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - \frac{1}{2} sin 2 x + 1$ ，若对任意 $x \in (1, + \infty)$ ， $f (a ln x) + f (- x) < 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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2、已知i为虚数单位，若 $z \cdot \bar{z} + z - \bar{z} = 9 + 4 i$ ，则 $|z| =$ .

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3、某校南门前有条长80米，宽8米的公路（如图矩形 $A B C D$ ），公路的一侧划有16个长5米宽2.5米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度 $A M = 3$ （米），停车位相对道路倾斜的角度 $∠ E^{'} A^{'} M = α$ ，其中 $α \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $cos α = \frac{4}{5}$ B、 $cos α = \frac{3}{5}$ C、该路段改造后的停车位比改造前增加8个 D、该路段改造后的停车位比改造前增加9个

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4、已知双曲线： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过 $M (- 2 a, 0)$ 的直线分别交双曲线左右两支为 $A, B$ ， $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $C$ ，若 $2 ∠ B M O + ∠ M B C = \frac{π}{2}$ ，则双曲线的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5、已知集合 $A = \{x |2 a - 1 < x < a + 1\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $(∁_{U} A) \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

A、 $y = x (2^{x} + 2^{- x})$ B、 $y = {log}_{2} x^{2}$ C、 $y = lg (1 - x) + lg (1 + x)$ D、 $y = \frac{x^{3} - x}{x - 1}$

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7、在 $△ A B C$ 中，点 $D, E$ 分别在边 $B C$ 和边 $A B$ 上，且 $D C = 2 B D = 2, B E = 2 A E, A D$ 交 $C E$ 于点 $P$ ，设 $\vec{B C} = \vec{a}, \vec{B A} = \vec{b}$ .用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{B P}$ 为；若 $M$ 为 $C E$ 上一动点且 $∠ E C B = 30^{°}$ ，则 $\vec{B M} \cdot \vec{D M}$ 的最小值为.

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8、已知函数 $f (x) = a_{1} x^{2} + a_{2}$ ， $g (x) = f (x) - x sin x$ .

(1)、证明：当 $3 a_{1} = a_{2} = 3$ 时，曲线 $C : y = (x + 3) f (x) + lg \frac{x}{x + 2}$ 关于点 $(- 1, 8)$ 对称；

(2)、若 $P$ 为曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的公共点，且 $C_{1}, C_{2}$ 在 $P$ 处存在共同的切线，则称该切线为 $C_{1}, C_{2}$ 的“优切线”.若曲线 $y = g (x)$ 与曲线 $y = - cos x$ 存在两条互相垂直的“优切线”，求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值.

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点 $F (2 a, 0)$ 到其中一条渐近线 $\sqrt{3} x - y = 0$ 的距离为 $2 \sqrt{3} .$

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若过 $F$ 的直线与 $C$ 的左、右支分别交于点 $A, B$ ，与圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 交于与 $A, B$ 不重合的 $M, N$ 两点.
①求直线 $A B$ 斜率的取值范围；
②求 $|A B| \cdot |M N|$ 的取值范围.

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10、如图，在正四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $A B = 4 A_{1} B_{1} = 4$ ， $B B_{1} = 3$ ， $\vec{D B} = 4 \vec{D F}$ ，棱 $B_{1} B$ 上的点 $E$ 满足 $A E + E C$ 取得最小值.

(1)、证明： $B_{1} F //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、在空间取一点为 $G$ ，使得 $A G // C_{1} C$ ，设平面 $A G E$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的值.

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11、已知首项为1的等差数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的公差为2，又数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = \frac{9}{2} T_{4}$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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12、已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为 $6 : 3 : 1$ .

(1)、现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率；

(2)、从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.

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13、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - \frac{c}{\sqrt{3}})}^{2} = \frac{4 c^{2}}{3}$ 有四个不同的公共点，其中 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ .若 $\frac{b}{a} + \frac{a^{2}}{b^{2}} > m$ ，则 $m$ 的最大值为.

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14、已知二项式 ${(a x - \frac{b}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为 $- 20$ ，则 $a b =$ .

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15、已知 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (t, 1)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) // (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $t =$ .

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16、某箱中有若干个编号依次为 $1, 2, \dots \dots, k (k \geq 3)$ 的球，每个球除编号外完全相同.现从箱中每次不放回地取一个球，若第 $m$ 次取出球的编号为 $n$ ，则记为 $X_{m, n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $P (X_{2, 1}) = 0,$ 则 $P (X_{1, 2}) = 1$ B、若 $P (X_{2, 1}) = \frac{1}{3},$ 则 $P (X_{2, 2}) = \frac{2}{9}$ C、若 $P (X_{3, 1}) = \frac{1}{3},$ 则事件 $X_{1, 1}$ 和事件 $X_{2, 2}$ 相互独立 D、若 $P (X_{3, 1}) = \frac{1}{3},$ 则事件 $X_{1, 2}$ 和事件 $X_{2, 3}$ 相互独立

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17、已知正数 $a, b$ 满足 $e^{a} (1 - ln b) = 1$ ，则（）

A、 $e < b < e^{2}$ B、 $e^{a} + \frac{1}{e^{a}} > 2$ C、 $e^{a} > b$ D、 $e^{a} - ln b > 1$

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18、若 $f (x) = x^{2} + 81 {(ln \frac{x}{3})}^{2} - 18 ln \frac{x}{3} + 1,$ 则 $f (x)$ 的最小值为（）

A、 $1 + e^{2}$ B、10 C、 $\sqrt{10}$ D、2

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19、已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， $cos (α - β) = \frac{4}{5}$ ， $cos α cos β = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1}{tan α} - \frac{1}{tan β} =$ （）

A、 $- \frac{1}{10}$ B、 $- \frac{3}{10}$ C、 $- 1$ D、 $- 2$

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20、已知半径为3，高为1的圆锥底面圆周上的点和顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $125 π$ B、 $\frac{400 π}{3}$ C、 $\frac{200 π}{3}$ D、 $\frac{500 π}{3}$

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