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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (3, - 2, 4), \vec{b} = (1, λ, μ)$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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2、已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点 $(0, 1)$ ，长轴长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $M (1, 0)$ 且斜率为1的直线l与椭圆C交于 $A, B$ 两点，求弦长 $| A B |$ ；

(3)、若直线l与椭圆相交于 $C, D$ 两点，且弦 $C D$ 的中点为 $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ，求直线l的方程.

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3、圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆 $C_{1} : x^{2} + 2 x$ $+ y^{2} = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 16 = 0$ ， $P$ 是这两个圆根轴上一点，则 $|P C_{2}| - |P C_{1}|$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，底面ABCD为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $A D = 2$ ， $P A = B C = 1$ ，三棱锥 $P - A C D$ 的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（）

A、 $\frac{9π}{8}$ B、 $\frac{11π}{8}$ C、 $\frac{9π}{4}$ D、 $\frac{11π}{4}$

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线 $C$ 上有一点 $P$ ，若 $|P F_{1}| = 5$ ，则 $|P F_{2}| =$ （）

A、9 B、1 C、1或9 D、11或9

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6、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴长为10，点P在椭圆C上，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、16 B、18 C、 $10 + 2 \sqrt{34}$ D、20

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7、直线 $\sqrt{3} x + y = 0$ 绕原点逆时针旋转 $90 °$ 后所对应的直线的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，以点 $T (1, f (1))$ 为切点作曲线 $f (x)$ 的切线，求切线方程；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有3个零点；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(a - 5, 3 - a)$ 上有最小值，求 $a$ 的取值范围．

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9、某林场去年底森林木材储存量为100万 $m^{3}$ ，若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐x万 $m^{3}$ 木材，记 $a_{n}$ 为第n年年底的木材储存量.

(1)、写出 $a_{1}, a_{2}$ ；写出数列 $\{a_{n}\}$ 的递推公式；

(2)、为了实现经过10年木材储存量翻两番（原来的4倍）的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少?（精确到0.1万 $m^{3}$ ）
参考数据： ${1.2}^{9} = 5.16, {1.2}^{10} = 6.19$ .

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10、已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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11、如图，某广场内有一半径为 $50 \sqrt{3}$ 米的圆形区域，圆心为 $O$ ，其内接矩形 $A B C D$ 的内部区域为居民的健身活动场所，已知 $A B = 100$ 米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心 $O$ 作直径 $M N$ ，使得 $M N // A B$ ，在劣弧 $\overset{⌢}{M C}$ 上取一点 $E$ ，过点 $E$ 作圆 $O$ 的内接矩形 $E F G H$ ，使 $E F // M N$ ，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设 $∠ M O E = x$ ．
（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为 $f (x)$ （单位：平方米），求 $f (x)$ 的表达式（不需要注明 $x$ 的范围）．
（2）当 $f (x)$ 取最大值时，求 $x$ 的值为．

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12、已知数列 ${a_{n}}$ 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} + a_{4} = 7$ ， $a_{5} + a_{6} = 13$ ，则 $a_{7} + a_{8} =$ .

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13、有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案．(用数字作答)

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14、关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，下列判断正确的是（）．

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对任意两个正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 4$ ．

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15、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）

A、 $f (a) > f (e) > f (d)$ B、函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上递增，在 $[b, d]$ 上递减 C、函数 $f (x)$ 的极值点为 $c$ ， $e$ D、函数 $f (x)$ 的极大值为 $f (b)$

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16、已知函数 $f (x) = a e^{x} + x$ （ $a > 0$ ）在点 $(0, f (0))$ 处的切线为直线 $l$ ，若直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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17、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $E$ 为椭圆在第一象限上的一点，直线 $E A$ ， $E B$ 分别交 $y$ 轴于点 $P$ ， $Q$ .

(1)、求 $|O P| \cdot |O Q|$ 的值；

(2)、在直线 $F_{2} Q$ 上取一点 $D$ （异于 $F_{2}$ ），使得 $|O D| = 1$ .
（ⅰ）证明： $P$ ， $D$ ， $F_{1}$ 三点共线；
（ⅱ）求 $△ P D F_{2}$ 与 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积之比的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} ln (x + a)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点，求 $a$ 的取值范围.

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19、如图， $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，直线 $l$ 与 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 分别相交于点 $D$ ， $E$ ，设 $∠ A D E = θ$ ，满足 $a cos (B - θ) + b cos (A + θ) = \frac{1}{2} c$ .

(1)、求角 $θ$ 的大小；

(2)、若 $A E = \sqrt{13}$ ， $△ A D E$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A D E$ 的周长.

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20、如图，四边形 $A B C D$ 为圆台 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面， $A B = 2 C D$ ，圆台的母线与底面所成的角为 $60 °$ ，母线长为 $2$ ， $P$ 是弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点， $C P = \sqrt{6}$ ， $E$ 为 $A P$ 的中点.

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $B C P$ ；

(2)、求平面 $A C P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值.

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