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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\tan A + \tan B = \frac{\sqrt{3} c}{a \cos B}$ ．则下列结论正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{6}$ B、若 $a = 2$ ，则该三角形周长的最大值为6 C、若 $△ A B C$ 的面积为 $2$ ，则 $a$ 有最小值 D、设 $\vec{B D} = \frac{c}{2 b + c} \vec{B C}$ ，且 $A D = 1$ ，则 $\frac{1}{b} + \frac{2}{c}$ 为定值

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2、对于 $△ A B C$ ，有如下判断，其中正确的判断是（）

A、若 $a = 2, A = 30 °$ ，则 $\frac{b + 2 c}{\sin B + 2 \sin C} = \frac{2 b + c}{2 \sin B + \sin C} = 4$ B、若 $a = 8, b = 10, B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 C、若点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $\vec{A P} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| cos B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| cos C}), λ \in (0, + \infty)$ ，则点 $P$ 的轨迹经过 $△ A B C$ 的垂心 D、已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，若 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}, S_{△ A O C}, S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C, △ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} \cdot S_{△ A B C} = 1 : 6$

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3、下列命题正确的是（）

A、棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体 B、球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转 $180 °$ 所形成的曲面 C、有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D、用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台

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4、 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{4}$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 外接圆圆心，是 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} + \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2} + 1$ C、3 D、5

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5、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若 $b = a (\cos C + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin C)$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，点 $D$ 在 $B C$ 上， $A D = \sqrt{3}$ ， $b = 3 c$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、4

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\frac{5 \cos B - 8 \cos C}{8 c - 5 b} = \frac{\cos A}{a}$ ，又 $△ A B C$ 的面积 $S = 10 \sqrt{3}$ ，且 $B + C = 2 A$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} + \vec{B C} \cdot \vec{C A} + \vec{C A} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、64 B、84 C、-69 D、-89

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7、嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔. 如图，为测量塔的总高度 $A B$ ，选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 30 ^{\circ}$ ， $∠ B D C = 45 ^{\circ}$ ， $C D = 4$ ，在 $C$ 点测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60 ^{\circ}$ ，则塔的总高度为（）

A、 $12 - 4 \sqrt{2}$ B、 $12 - 4 \sqrt{3}$ C、 $12 + 4 \sqrt{2}$ D、 $12 + 4 \sqrt{3}$

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8、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位： $cm$ ），那么该壶装满水的体积约为（）

A、0.182升 B、0.205升 C、0.218升 D、0.235升

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9、若复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = (2 + i) (3 - 4 i)$ ，则 $| z | =$

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、5 D、25

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10、记 $y = f^{'} (x)$ ， $y = g^{'} (x)$ 分别为函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 的导函数．若存在 $x_{0} \in R$ ，满足 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ 且 $f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的一个“好点”．

(1)、判断函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = x^{2} - x + 1$ 是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由；

(2)、若函数 $f (x) = a x^{3} - 1$ 与 $g (x) = \ln x$ 存在“好点”，求实数 $a$ 的值；

(3)、已知函数 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $g (x) = \frac{b e^{x}}{x}$ ，若存在实数 $a > 0$ ，使函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 内存在“好点”，求实数 $b$ 的取值范围．

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11、在问卷调查中，被采访人有可能出于隐私保护而不愿意如实填写问卷，导致调查数据失真.某校高三级调查学生对饭堂服务满意情况，为保护学生隐私并得到真实数据，采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有五个大小相同的小球，其中2个黑球，3个白球、高三级所有学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，若相同则按方式Ⅱ回答问卷”.
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中答“是”，否则答“否”；
方式Ⅱ：若学生对饭堂服务满意，则在问卷中答“是”，否则答“否”.
当所有学生完成问卷调查后，统计答“是”，答“否”的比例，用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该校高三级学生对饭堂服务满意度的估计值.

(1)、若某班有50名学生，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；

(2)、若该年级的所有调查问卷中，答“是”与答“否”的比例为 $2 : 3$ ，试估计该年级学生对饭堂的满意度.（结果保留3位有效数字）

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12、每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段（单位：岁）
$[15, 25)$
$[25, 35)$
$[35, 45)$
$[45, 55)$
$[55, 65)$
$[65, 75]$
被调查的人数
10
15
20
$m$
25
5
赞成的人数
6
12
$n$
20
12
2

(1)、从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在 $[35, 45)$ 的概率为 $\frac{1}{5}$ ，求出表格中 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若从年龄在 $[45, 55)$ 的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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13、“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数 $f (x)$ 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，其中 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线与x轴交点的横坐标， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当 $|x_{n} - r|$ 足够小时，就可以把 $x_{n}$ 的值作为方程 $f (x) = 0$ 的近似解．若 $f (x) = \frac{1}{15} x^{3} - \frac{3}{5} x^{2} + 2 x - \frac{12}{5}$ ， $x_{0} = 4$ ，则方程 $f (x) = 0$ 的近似解 $x_{1} =$ ．

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14、中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设 $a, b, m (m > 0)$ 为整数，若 $a$ 和 $b$ 被m除得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模m同余，记为 $a = b (\mod m)$ .若 $a = C_{20}^{0} + C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ， $a = b (\mod 8)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、2025 B、2026 C、2017 D、2018

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15、一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为 $X_{1}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{1})$ ， $D (X_{1})$ ；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为 $X_{2}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{2})$ ， $D (X_{2})$ ；则（）

A、 $E (X_{1}) = E (X_{2})$ B、 $E (X_{1}) > E (X_{2})$ C、 $D (X_{1}) > D (X_{2})$ D、 $D (X_{1}) < D (X_{2})$

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16、设函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在区间 $(a, b)$ 上 $f^{″} (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上为“凸函数”．已知 $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{6} m x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ 在 $(1, 3)$ 上为凸函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{31}{9})$ B、 $[\frac{31}{9}, 5]$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $[2, + \infty)$

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17、已知函数 $f (x) = |x + 2| + |x + m| (m \in R)$ ，且 $f (x) \leq 4$ 的解集为 $[- \frac{5}{2}, \frac{3}{2}] .$

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = |x - a| (a \in R)$ ，若存在 $x \in [0, 1]$ 使 $f (x) > g (x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ + |\frac{2 \sqrt{3}}{3} cos θ| = |2 sin θ|$

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、求曲线 C围成的图形的面积.

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19、已知函数 $f (x) = \ln x, g (x) = \frac{e^{x}}{e} - 1$ .

(1)、记函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，求函数 $h (x)$ 的极大值点；

(2)、记函数 $m (x) = f (x) - a g (x)$ ，讨论函数 $m (x)$ 的零点个数.

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0 ）$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， C的右顶点到直线 $l : x = \frac{a^{2}}{c}$ 的距离为 $\sqrt{3} - 1$ ，双曲线右支上的点到 $F_{1}$ 的最短距离为 $3 + \sqrt{3} ，$

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线与C交于M、N两点，连接 $M F_{1}$ 交l于点Q，证明：直线QN过x轴上一定点.

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年龄段（单位：岁）	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75]$
被调查的人数	10	15	20	$m$	25	5
赞成的人数	6	12	$n$	20	12	2