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相关试卷

1、（1）已知 $5^{m} = 2$ ， $5^{n} = 3$ ，求 $5^{\frac{3 m - 2 n}{2}}$ 的值；
（2）化简： $4 a^{\frac{2}{3}} b^{- \frac{1}{3}} \div (- \frac{2}{3} a^{- \frac{1}{3}} b^{- \frac{2}{3}}) \times \frac{1}{6} a^{- \frac{1}{3}} b^{- \frac{1}{3}}$ .

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + x, x \geq 0 \\ - 2 x, x < 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (x)]}^{2} - (m + 1) f (x) + m < 0$ 恰有两个整数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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3、甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店.

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4、已知幂函数 $f (x)$ 满足 $\frac{f (4)}{f (2)} = 3$ ，则 $f (\frac{1}{8}) =$ .

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5、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的不恒为零的函数，对于任意 $x, y \in R$ 都满足 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ D、若当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ，则 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 2 x, x \geq 0 \\ - 2 x + m, x < 0 \end{cases}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $f (- 1) = f (1)$ ，则 $m = - 3$ B、 $f (x)$ 存在最小值，则 $m \geq - 1$ C、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, 1]$ D、若 $f [f (- 2)] = - 2$ ，则 $m = - 6$

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7、在下列四个命题中，正确的是（）

A、若 $a c^{2} < b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b > 0, c < d < 0, | b | > | c |$ ，则 $\frac{b + c}{{(a - c)}^{2}} \geq \frac{a + d}{{(b - d)}^{2}}$ C、已知 $- 1 \leq a + b \leq 4, 2 \leq a - b \leq 3$ ，则 $\frac{9}{2} \leq 3 a - 2 b \leq \frac{19}{2}$ D、 $a, b, c$ 为互不相等的正数，且 $a^{2} + b^{2} = 2 b c$ ，则 $a c + b^{2} > a b + b c$

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8、已知函数 $f (x)$ 是三次函数且幂函数， $g (x) = \frac{f (x) + 2^{|x| + 1}}{2^{|x|}}$ ，则 $g (- 2023) + g (- 2022) + g (- 2021) + \dots + g (0) + \dots + g (2021) + g (2022) + g (2023) =$ （）

A、4047 B、8092 C、8094 D、9086

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9、函数 $f (x) = \sqrt{x - 3} + \frac{1}{1 + x}$ 的定义域为（）

A、 $[3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $[- 3, - 1) \cup (- 1, + \infty)$

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10、已知集合 $A = \{1, a\}$ ， $B = \{a^{2}, - 1\}$ ，若 $A = B$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、0 D、2

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}, A, B$ 分别是椭圆 $C$ 的上下顶点，过 $A$ 作两条互相垂直的直线 $A P, A Q$ ，分别交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求证：直线 $P Q$ 恒过定点；

(3)、求 $△ A P Q$ 面积的最大值.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a ln x, a \in R$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $y = f (x) + (a + 1) x$ 的最小值为0，求 $a$ 的值.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是梯形， $A B$ $∥$ $D C, A C ⊥ B D$ ， $P A = A C = 3, D C = 2 A B = 4$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求二面角 $D - P C - B$ 的正弦值.

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14、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{5} = 35, a_{1}, a_{4}, a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $m < n$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{m}}, \frac{1}{a_{n}}$ 成等差数列，求出所有的正整数 $m, n$ .

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 5, c = 3, b = a cos C - \frac{c}{2}$ .

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、若 $D$ 是 $B C$ 中点，求 $A D$ 的长度.

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16、已知 $e$ 为自然对数的底数，若函数 $y = \ln x + a x$ 的最大值与函数 $y = e^{x} - x$ 的最小值相等，则实数 $a$ 的值是.

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17、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ，则 $S_{20} =$ .

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18、如果 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，当 $n p > 10$ 且 $n (1 - p) > 10$ 时，可以近似的认为 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，据统计高中学生的近视率 $p = 0.6$ ，某校有600名高中学生.设 $X$ 为该校高中学生近视人数，且 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，下列说法正确的是（）
（参考数据： $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.682, P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ）

A、变量 $X$ 服从正态分布 $N (360, 144)$ B、 $P (X \geq 372) \approx 0.159$ C、 $P (X < 384) = P (X > 348)$ D、 $P (X < 384) \approx 0.9773$

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19、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}, λ \in [0, 1], μ \in[0, 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在唯一一点 $P$ ，使得过 $D_{1}, B, P$ 的平面与正方体的截面是菱形 B、存在唯一一点 $P$ ，使得 $A P ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ C、存在无穷多个点 $P$ ，使得 $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} C D$ D、存在唯一一点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ B C_{1}$

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，直线 $l : y = k x - k$ 与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，分别过 $P$ ， $Q$ 两点作抛物线准线的垂线 $P M$ ， $Q N$ ，垂足分别是 $M$ ， $N$ ，下列说法正确的是( ).

A、直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点 B、当 $k = 1$ 时， $P$ ， $Q$ 两点横坐标的和为5 C、当 $k = 1$ 时，直线 $l$ 截抛物线所得的弦长为8 D、以 $M N$ 为直径的圆与直线 $l$ 相切

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