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相关试卷

1、已知函数 $g (x) = \frac{f (x) + f (- x)}{2}$ ， $h (x) = \frac{f (x) - f (- x)}{2}$ ，且 ${[g (x)]}^{2} - {[h (x)]}^{2} = 1$ ，则函数 $f (x)$ 可能是（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = \log_{2} x$

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2、从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, - 2, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4、若 $\frac{z}{z + 1} = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 + i$

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $\forall a, b \in [0, + \infty)$ ，且 $a \neq b$ ，都有 $\frac{a f (a) - b f (b)}{a - b} < 0$ 成立，则不等式 $t f (t^{2}) - (\frac{2}{t} + 1) f (t + 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$

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6、已知曲线 $E$ 上任意一点到点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离与到直线 $x = 2 \sqrt{3}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的方程.

(2)、若点 $P$ 在圆 $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 上， $P M$ ， $P N$ 为 $E$ 的两条切线， $M$ ， $N$ 是切点.
（i）求点 $P$ 的纵坐标的取值范围；
（ii）求 $△ P M N$ 的面积S的最大值.
附：若曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 的两条切线相交于点 $(x_{0}, y_{0})$ ，则两侧切点所在直线的方程为 $\frac{x_{0} x}{m} + \frac{y_{0} y}{n} = 1$ .

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7、已知直椭圆柱体是指底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图所示，直椭圆柱体的上下底面椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ ，高为椭圆短轴长度的 $\frac{1}{2}$ ，下底面长轴记为 $A B$ ，上底面长轴记为 $A_{1} B_{1}$ ．点 $E$ 为 $A B$ 上一点，过点 $E$ 在下底面内作 $A B$ 的垂线分别交下底面椭圆于点 $C$ ， $D$ ．记 $m = \frac{|A E|}{|B E|}$ ．

(1)、若平面 $A_{1} A D ⊥$ 平面 $A_{1} A C$ ，求 $m$ 及二面角 $C - A_{1} B - D$ 的余弦值；

(2)、若 $m$ 随变量 $t$ 的变化而变化，且 $t \geq 1$ ， $m = 1 - \frac{1}{2 t}$ ．记二面角 $C - A_{1} B - D$ 的大小为 $θ$ ，证明： $\frac{π}{2} < θ < \frac{5π}{6}$ ．

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8、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列且公比大于 $0$ ， $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 3$ ， $2 a_{3} = 5 (a_{5} - a_{4})$ ， $6 b_{3} = b_{5} - b_{4}$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {(- 1)}^{n - 1} (\frac{16 n}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}}) (n \in N^{*})$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

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9、《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图， $E A ⊥$ 平面ABCD， $F C ∥ E A$ ，四边形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = A E = 2$ ， $C D = C F = 4$ ．

(1)、证明：四面体BCFD为鳖臑；

(2)、求点C到平面BDF的距离；

(3)、求几何体ABCDEF的表面积．

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10、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角A，B，C的对边，且 $2 c \cos C = a \cos B + b \cos A$ ．

(1)、求C的大小；

(2)、若 $b = 3 a, c = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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11、存在正数 $x, y, z,$ 使得不等式 $\sqrt{x} + \sqrt{3 y} + \sqrt{5 z} \geq m \sqrt{x + y + z}$ 成立，则 $m$ 的最大值是.

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12、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = d$ （ $n \in N^{*}$ ， $d$ 为常数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“调和数列”.已知数列 $\{b_{n}\}$ 为“调和数列”，下列说法正确的是（）

A、若 $\sum_{i = 1}^{20} \frac{1}{b_{i}} = 20$ ，则 $b_{10} + b_{11} = b_{10} b_{11}$ B、若 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{c_{n}}$ ，且 $c_{1} = 3$ ， $c_{2} = 15$ ，则 $b_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ C、若 $\{b_{n}\}$ 中各项均为正数，则 $b_{n + 1} \leq \frac{b_{n} + b_{n + 2}}{2}$ D、若 $S_{n}$ 为数列 $\{\sqrt{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $S_{n} < 2 \sqrt{n}$

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 外的动点 $P$ 作圆的两条切线，切点为 $A, B$ ，则下列结论正确的有（）

A、若点 $P (3, 4)$ ，则四边形 $O A P B$ 的面积是 $2 \sqrt{6}$ B、若点 $P (6, 8)$ ，则四边形 $O A P B$ 的外接圆方程是 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 10$ C、若点 $P$ 在直线 $4 x + 3 y - 12 = 0$ 上，则 $O, A, P, B$ 所在圆的直径的最小值是 $\frac{12}{5}$ D、当 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 取得最小值时，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $\sqrt{2}$

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14、下列说法中正确的是（）

A、若一个经验回归方程为 $\hat{y} = 2 x - 1$ ，则当变量 $x$ 增加1个单位时， $\hat{y}$ 平均增加2个单位 B、已知随机变量 $ξ ~ N (0, σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 2) = 0.2$ ，则 $P (- 2 \leq ξ \leq 2) = 0.6$ C、两组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 和 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ ．若 $x_{i} + y_{i} = 10 (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $\bar{x} + \bar{y} = 10$ D、已知一组样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，若样本点 $(m, 3)$ 与 $(2, n)$ 的残差相等，则 $3 m + n = 10$

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15、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (x), f (- x) = f (x + 2)$ ，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = x^{3} - x^{2} + x$ .则方程 $4 f (x) - x + 2 = 0$ 所有的根之和为（）

A、10 B、12 C、14 D、16

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16、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的通径为线段 $A B$ ， $A$ 到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长，则双曲线的离心率为（）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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17、若 $cos (\frac{π}{2} + θ) + sin (θ + \frac{3 π}{2}) = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，则 $\frac{sin (π + θ)}{1 - tan (π - θ)}$ 的值为（）

A、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{20}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{20}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{20}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{20}$

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18、已知集合 $A = \{x| x^{2} + 2 x - 3 \leq 0\}, B = \{- 1, 0, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 2\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 1\}$

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19、已知向量 $\vec{a} = (m, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ 或 $- \frac{1}{3}$ B、1或 $- \frac{1}{3}$ C、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ D、1或 $\frac{1}{3}$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (2 n + 1)$ ，则根据题意，该数列的前4项和 $S_{4} =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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