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相关试卷

1、观察下列散点图的分布规律和特点，其中两个变量存在相关关系的有（）

A、 B、 C、 D、

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2、飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为 $X$ ，则 $E (X) =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x > 0 \\ x^{3} - 3 x + a, x \leq 0 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $(- \infty, 3]$

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4、已知 $\sin (α + β) = \frac{1}{2}$ ， $\sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\tan α}{\tan β} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、5 C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- 5$

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5、已知函数f（x）＝log_a（x+1），g（x）＝2log_a（2x+t）（t∈R），其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求t的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .
(1)求 $f (x)$ 的最小正周期；
(2)当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，
(ⅰ)求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；
(ⅱ)求函数 $f (x)$ 的最大值､最小值，并分别求出使该函数取得最大值､最小值时的自变量 $x$ 的值.

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7、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 为正三角形， $A_{1}$ 在底面 $△ A B C$ 上的射影是棱 $B C$ 的中点 $O$ ， $O E ⊥ A A_{1}$ 于 $E$ 点.
（1）证明 $O E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
（2）若 $A A_{1} = \sqrt{3} A B$ ，求 $A C$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值.

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{3} = 2 S_{2} + 1$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{2 n - 1}{2 a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 $b_{n}$ 的前n项和 $T_{n}$ .
（3）在条件（2）下，若不等式 $λ n T_{n} - 3 λ n + b_{n} < 0$ 对任意正整数n都成立，求 $λ$ 的取值范围.

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9、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上一定点 $A (2, 0)$ ，点 $B (1, 1)$ 为圆内一点， $P, Q$ 为圆上的动点．

(1)、求线段 $A P$ 中点的轨迹方程；

(2)、若 $∠ P B Q = 90 °$ ，求线段 $P Q$ 中点的轨迹方程．

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10、经过原点 $(0, 0)$ 作函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ 图像的切线，则切线方程为．

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11、计算 $\log_{2} (4^{7} \times 2^{5}) =$ .

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12、如图，已知点 $E$ 是平行四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 的中点， $F_{n} (n \in N^{*})$ 为边 $B C$ 上的一列点，连接 $A F_{n}$ 交 $B D$ 于 $G_{n}$ ，点 $G_{n} (n \in N^{*})$ 满足 $\overset{⃑}{G_{n} D} = a_{n + 1} \cdot \overset{⃑}{G_{n} A} - 2 (2 a_{n} + 3) \overset{⃑}{G_{n} E}$ ，其中数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列， $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的是（　　）

A、 $a_{3} = 13$ B、数列 $\{a_{n} + 3\}$ 是等比数列 C、 $a_{n} = 4 n - 3$ D、 $S_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$

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13、意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前 $n$ 项所占的格子的面积之和为 $S_{n}$ ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 $c_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{n + 1} = a_{n + 1}^{2} + a_{n + 1} \cdot a_{n}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = a_{n + 2} - 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n - 1} = a_{2 n} - 1$ D、 $4 (c_{n} - c_{n - 1}) = π a_{n - 2} \cdot a_{n + 1}$

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14、（多选）函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ )在一个周期内的图像如图所示，则（）

A、该函数的解析式为 $y = 2 \sin (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ B、该函数图象的对称中心为 $(k π - \frac{π}{3}, 0)$ ， $k \in Z$ C、该函数的增区间是 $[3 k π - \frac{5 π}{4}, 3 k π + \frac{π}{4}]$ ， $k \in Z$ D、把函数 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

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15、已知偶函数 $y = f (x)$ 对于任意的 $x \in [0, \frac{π}{2})$ 满足 $f' (x) \cos x + f (x) \sin x > 0$ （其中 $f' (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数），则下列不等式中成立的是

A、 $\sqrt{2} f (- \frac{π}{3}) < f (\frac{π}{4})$ B、 $\sqrt{2} f (- \frac{π}{3}) < f (- \frac{π}{4})$ C、 $f (0) > \sqrt{2} f (- \frac{π}{4})$ D、 $f (\frac{π}{6}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$

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16、函数 $y = (\sin x + \cos x) (\sin x - \cos x)$ 是

A、奇函数且在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 B、奇函数且在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上单调递增 C、偶函数且在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调减增 D、偶函数且在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上单调递增

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17、函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为

A、 B、 C、 D、

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18、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 19$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - 3 (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和最大时，n的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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19、数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $M > 0$ ，那么 $\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M (n \in R)$ ；
(2)请你运用上述对数运算性质计算 $\frac{\lg 3}{\lg 4} (\frac{\lg 8}{\lg 9} + \frac{\lg 16}{\lg 27})$ 的值；
(3)因为 $2^{10} = 1024 \in (10^{3}, 10^{4})$ ，所以 $2^{10}$ 的位数为4(一个自然数数位的个数，叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识，判断 $2019^{2020}$ 的位数.(注 $\lg 2019 \approx 3.305$ )

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20、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 3^{n} (n \in N^{*})$ .
（1）求 $S_{n}$ （用 $n$ 表示）；
（2）求证：当 $n \geq 2$ 时，不等式 $\frac{S_{1}}{a_{1}} + \frac{S_{2}}{S_{2}} + \dots + \frac{S_{n}}{a_{n}} < \frac{3 n}{2} - \frac{5}{7}$ 成立.

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