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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， $2 \cos C + \cos A = (2 \sin C - \sin A) \cdot \tan A$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若D为边 $A C$ 的中点，且 $B D = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $\frac{a}{c}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若角B的平分线 $B E$ 与边 $A C$ 相交于点E，且 $△ A B C$ 的面积 $\sqrt{3}$ ，则 $B E$ 的最大值为 $\sqrt{3}$

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2、已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, 0]$ 上单调递减 C、 $(\frac{π}{12}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 的值域为 $[- 2, 1]$

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3、下列说法不正确的有（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同 D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角

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4、下面关于空间几何体叙述正确的有（）

A、圆柱的所有母线长都相等 B、底面是正方形的棱锥是正四棱锥 C、一个棱台最少有5个面 D、用一平面去截圆台，截面一定是圆面

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (2 \vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的最小值等于（）

A、 $12 - 6 \sqrt{3}$ B、 $12 - 4 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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6、在 $△ A B C$ 中，若 $cos A - cos B + \frac{a - b}{c} = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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7、已知 $|\vec{O A}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{O B}| = 1$ ，且 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $|\vec{A B}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E、F分别是 $C D$ 边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（）

A、 $\bar{E F} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ B、 $\vec{A D} + \bar{D C} = \bar{A B} + \vec{B C}$ C、 $\vec{C B} - \vec{C E} = \vec{E B}$ D、 $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (2, - 3)$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、1 D、5

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10、在 $△ A B C$ 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $B = 30 °$ ， $b = 2$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ，则角C的大小为（）

A、45° B、105°或15° C、15° D、135°或45°

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11、 $\cos 24 ° \cos 69 ° + \sin 24 ° \sin 111 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、已知 $\{a_{n}\}$ 为有穷整数数列，共有 $n$ 项．给定正整数 $T$ ，若对任意的 $t \in \{t \in N_{+} ∣ t \leq T\}$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中，存在 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j} (j \geq 1)$ ，使得 $max \{a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\} - min \{a_{i}, a_{i + 1}$ ， $a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\} = t, max \{a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\}$ 表示 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}$ 中最大的一项， $min \{a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\}$ 表示 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}$ 中最小的一项，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $T -$ 有界数列．

(1)、判断 $1, 2, 4, 8$ 是否为 $4 -$ 有界数列，判断 $1, 8, 2, 4$ 是否为 $4 -$ 有界数列，说明理由；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 共有4项， $a_{1} = 1$ ，且 $\{a_{n}\}$ 为单调递增数列，写出所有的 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 为 $6 -$ 有界数列；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $10 -$ 有界数列，证明： $n \geq 6$ ．

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13、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A A_{1} = A B$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $C C_{1}$ 和 $B C$ 的中点，点 $P$ 是棱 $A A_{1}$ 上的一个动点，则下列说法中正确的有（）

A、存在点 $P$ ，使得 $B_{1} M / /$ 平面 $P B C$ B、直线 $P N$ 与 $C C_{1}$ 为异面直线 C、存在点 $P$ ，使得 $B_{1} M ⊥ P N$ D、存在点 $P$ ，使得直线 $P N$ 与平面 $A B C$ 的夹角为45°

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14、如图，已知向量 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，可构成空间向量的一个基底，若 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ， $\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3})$ ．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算 $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ ，显然 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的结果仍为一向量，记作 $\vec{p}$

(1)、求证：向量 $\vec{p}$ 为平面OAB的法向量；

(2)、若 $\vec{a} = (1, - 1, \sqrt{7})$ ， $\vec{b} = (0, - 3, 0)$ ，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ 的大小；

(3)、将四边形OADB按向量 $\vec{O C} = \vec{c}$ 平移，得到一个平行六面体 $O A D B - C A_{1} D_{1} B_{1}$ ，试判断平行六面体的体积V与 $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ 的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）

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15、已知圆 $C : x^{2} - 6 x + y^{2} - 6 y + 3 = 0$ ，直线 $l : x + y - 2 = 0$ 是圆 $E$ 与圆 $C$ 的公共弦AB所在直线，且圆 $E$ 的圆心在直线 $y = 2 x$ 上.

(1)、求公共弦AB的长度；

(2)、求圆 $E$ 的方程；

(3)、过点 $Q (- 1, 0)$ 分别作直线 $M N$ ， $R S$ ，交圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ ， $R$ ， $S$ 四点，且 $M N ⊥ R S$ ，试探究 $| M N |^{2} + | R S |^{2}$ 是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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16、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2, A A_{1} = 4, A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别为棱 $B B_{1}, B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}, D D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 四点共面；

(2)、 $P$ 为边 $C C_{1}$ 上一点，若平面 $P A_{2} D_{2}$ 与平面ABCD所成夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求CP的长度.

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17、已知点 $P (- 2, 1)$ 在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 上，过点 $(2, 0)$ 作斜率为1的直线 $l$ 与椭圆交于A，B两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值.

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18、已知三角形的三个顶点是 $A (4, 0), B (6, 7), C (0, 3)$ .

(1)、求边AC所在直线的斜截式方程；

(2)、求边AC上的高所在直线的斜截式方程.

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19、设有一组圆 $C_{k} : {(x - k)}^{2} + {(y - k)}^{2} = 4 (k \in R)$ ，存在定直线始终与圆 $C_{k}$ 相切.

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20、布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达 $\cdot$ 芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达 $\cdot$ 芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为 $1$ ，则（）

A、点 $C_{1}$ 到直线 $C Q$ 的距离是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、异面直线 $C Q$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、直线 $B_{1} C_{1}$ 到平面 $C G Q$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、直线 $C Q$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$

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