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相关试卷

1、已知双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $A$ 为双曲线 $C$ 的左顶点， $P$ 为双曲线 $C$ 右支上的一点（非顶点）， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线 $P M$ 交 $x$ 轴于点 $M$ .

(1)、过右焦点 $F_{2}$ 作 $F_{2} N ⊥ P M$ 于点 $N$ ，求 $|O N|$ .

(2)、证明：点 $P$ 到双曲线 $C$ 的两条渐近线的距离之积为定值.

(3)、过点 $Q (\frac{1}{2}, 1)$ 作斜率为 $k$ 的动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于不同的两点 $G$ ， $H$ ，求斜率 $k$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = x + a e^{- x} + 1, (a \in R)$ .

(1)、若曲线y= $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线的斜率为0，求曲线y= $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为菱形， $∠ C B B_{1} = 60^{\circ}$ ，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为3．

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、若 $D$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点，求平面 $C D B_{1}$ 与平面 $A B_{1} D$ 的夹角的正切值．

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a sin B = b sin 2 A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b^{2} - a^{2} = \frac{1}{2} c^{2}$ ，求 $cos C$ .

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5、已知 $α$ 是第二象限角，且 $sin α + cos α = - \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ，则 $sin (α + \frac{π}{4}) =$ ， $cos (α - \frac{π}{12}) =$ .

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6、已知集合 $A = {x ∣ 1 < x < 2}$ ，集合 $B = {x ∣ x > m}$ ，若 $A \cap (∁_{R} B) = \emptyset$ ，则 $m$ 的取值范围为.

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7、设 $f^{'} (x)$ 是三次函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为三次函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的拐点为 $(- \frac{b}{3}, f (- \frac{b}{3}))$ B、 $f (x)$ 有极值点，则 $b^{2} - 3 c > 0$ C、过 $f (x)$ 的拐点有三条切线 D、若 $b = - 3$ ， $c = 1$ ，则 $f (2 - x) + f (x) = - 2$

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8、已知曲线 $E$ ： $x^{2} + y^{2} - \sqrt{2} |x| - \sqrt{2} |y| = 0 (x^{2} + y^{2} \neq 0)$ ，则（）

A、曲线 $E$ 围成的图形的面积为 $2 + 4 π$ B、曲线 $E$ 的长度为 $4 π$ C、曲线 $E$ 上任意一点到原点的距离的最大值为 $\sqrt{2}$ D、曲线 $E$ 上任意两点间的最大距离为4

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9、一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为 $X$ ，则（）

A、 $X \sim B (4, \frac{1}{2})$ B、 $P (X = 3) = \frac{32}{81}$ C、 $E (X) = \frac{8}{3}$ D、 $D (X) = \frac{7}{9}$

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10、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x + y) f (x - y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = - 1$ B、函数 $f (x)$ 为奇函数 C、函数 $f (x)$ 有2个零点 D、 $f (2 x) = f (x)$

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11、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若点 $E, F$ 分别满足 $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，平面 $E B_{1} C_{1} F$ 将三棱柱分成体积为 $V_{1}, V_{2}$ 的两部分，则 $V_{1} : V_{2} =$ （）

A、 $19 : 8$ B、 $2 : 1$ C、 $17 : 10$ D、 $16 : 11$

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12、抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上的点到其准线的距离与到直线 $y = 2 x + 3$ 的距离之和的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{7}}{5}$ D、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$

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13、某校组织了一次数学测试（满分100分），所有考生的成绩均在 $[50, 100]$ 内，按照 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成五组.甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则（）

A、成绩在 $[50, 60)$ 内的考生中，乙班人数少于甲班人数 B、甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小 C、甲班成绩在 $[80, 90)$ 内的人数最多 D、乙班成绩在 $[70, 80)$ 内的人数最多

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14、“一元二次方程 $a x^{2} - 2 x - 4 = 0 (a \neq 0)$ 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件是（）

A、 $a > 0$ B、 $a > - 1$ C、 $a < 0$ D、 $a > 1$

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15、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (0, 0) ， B (1, 1) ， C (4, 2)$ .

(1)、求边 $B C$ 所在直线的方程；

(2)、若 $A C$ 的中点为 $D$ ，求边 $A C$ 的垂直平分线 $l$ 的方程；

(3)、求 $△ A B C$ 的外接圆的方程.

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16、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ，则以下命题正确的有（）

A、直线l恒过定点 $(3, 0)$ B、直线l与圆 $C$ 恒相交 C、y轴被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ D、直线l被圆C截得的弦长最短时， $l$ 的方程为 $2 x - y - 5 = 0$

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17、在平面内，若点P，Q分别是直线l与圆C上的动点，则称 $| P Q |$ 的最小值为直线l与圆C的“线圆距离”，类比到空间中，若点P，Q分别是平面 $α$ 内与球M表面上的动点，则称 $| P Q |$ 的最小值为平面 $α$ 与球M的“面球距离”．如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D // B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = 2 A B = 2 B C = 8$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $E$ 在线段AD上，且 $A E = 2$ ，点 $F$ 在线段 $A_{1} D_{1}$ 上．

(1)、求直线CD与 $△ A B E$ 外接圆的“线圆距离”；

(2)、求平面 $C D D_{1} C_{1}$ 与三棱锥 $A_{1} - A B E$ 外接球的“面球距离”；

(3)、当平面 $F C D$ 与三棱锥 $A_{1} - A B E$ 外接球的“面球距离”为零时，求 $|A_{1} F|$ 的最大值．

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点 $A$ 和下顶点 $B$ ，过其右焦点 $F$ 的直线 $2 x - y - 2 = 0$ 交椭圆 $C$ 于B，D两点．

(1)、求 $| B D |$ 的值；

(2)、若 $∠ A F D$ 的角平分线交直线 $x = 5$ 于点 $E$ ，证明：E，A，B三点共线．

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19、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = P D = 6$ ， $E$ 为线段AD的中点， $F$ 为PC上的一点，且 $\vec{C F} = 2 \vec{F P}$ ．

(1)、求直线EF与平面 $P B D$ 所成的角的正弦值；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $P A D$ 的夹角的余弦值．

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的倾斜角为45°，且经过点 $P (- 1, 2)$ ．

(1)、求 $l_{1}$ 与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、若直线 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，且 $P$ 到 $l_{2}$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $l_{2}$ 的方程．

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