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相关试卷

1、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，则用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{A D}$ 和 $\vec{A B}$ 分别是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ 和 $\vec{a} + \vec{b}$ C、 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ 和 $\frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}$ D、 $\frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}$ 和 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

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2、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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3、已知函数 $y = g (x)$ 的对应关系如表所示，函数 $y = f (x)$ 的图象是如图所示，则 $g [f (1)]$ 的值为（）
$x$
1
2
3
$g (x)$
4
3
-1

A、-1 B、0 C、3 D、4

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4、设 $n \geq 5$ 为正整数， $0 < a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ 为正实数列．我们称满足 $\frac{a_{j} - a_{i}}{a_{k} - a_{j}} = r$ （其中 $1 \leq i < j < k \leq n$ ）的三元数组 $(i, j, k)$ 为“ $r -$ 比值组”.

(1)、若 $n = 5$ ，且 ${a_{n}}$ 为等差数列，写出所有的 $1 -$ 比值组；

(2)、给定正实数 $r$ ，证明：中位数为4（即 $(i, j, k)$ 中 $j = 4$ ）的 $r -$ 比值组至多有3个；

(3)、记 $r -$ 比值组的个数为 $f_{n} (r)$ ，证明： $f_{n} (r) < \frac{n^{2}}{4}$ .

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{x}{2} + a x$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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6、“ $\sin θ \cdot \cos θ > 0$ ”是“ $θ$ 为第一象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、在复平面内，复数 $(1 - 2 i) (3 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）．

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到的图象关于原点对称 C、方程 $f (x) = \sqrt{3}$ 在区间 $[0, 2 π]$ 有5个不等实根 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ 上单调递增

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{9} + a_{8} = 55$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、880 B、440 C、110 D、220

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (b - a, c), \vec{n} = (sin B - sin C, sin A + sin B)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，且 $cos B cos C = - \frac{1}{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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11、如图，由函数 $y = e^{x} - e + 1$ 与 $y = ln (x + e - 1)$ 的部分图象可得一条封闭曲线 $Γ$ ，则（）

A、 $Γ$ 有对称轴 B、 $Γ$ 的弦长的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、直线 $x + y = t$ 被 $Γ$ 截得弦长的最大值为 $\sqrt{2} (e - 2)$ D、 $Γ$ 的面积大于 $2 e - 4$

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12、已知圆锥的母线长为13，侧面积为 $65 π$ ，则该圆锥的内切球的表面积为（）

A、 $\frac{100 π}{9}$ B、 $\frac{4000 π}{81}$ C、 $\frac{400 π}{9}$ D、 $\frac{1000 π}{81}$

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13、若向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (3, 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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14、如图，点 $P, Q$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $D C, B C$ 上的两点， $A B = 3$ ， $A D = 2$ .

(1)、若 $P$ 、 $Q$ 分别为 $C D$ 、 $B C$ 的中点，求 $cos ∠ P A Q$ ；

(2)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D C}, \vec{C Q} = λ \vec{C B}, 0 \leq λ \leq 1$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的范围；

(3)、若 $\vec{D P} = 2 \vec{P C}$ ，连接 $A P$ 交 $B C$ 的延长线于点 $T, Q$ 为 $B C$ 的中点，试探究线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得 $∠ T H Q$ 最大.若存在，求 $B H$ 的长；若不存在，说明理由.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} a - 2 c = 2 b cos (B + C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{3}$ ，且 $2 a = \sqrt{3} c$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \cos x$ .

(1)、若 $f (x_{0}) = \frac{1}{2}$ ， $x_{0} \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\sin x_{0}$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上的值域.

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17、为绘制海底地貌图，测量海底两点 $C$ ， $D$ 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得 $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ D A C = 45 °$ ， $∠ A B D = 45 °$ ， $∠ D B C = 75 °$ ，同时测得 $A B = \sqrt{3}$ 海里.

(1)、求 $A D$ 的长度；

(2)、求 $C$ ， $D$ 之间的距离.

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18、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ．

(1)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{b} + k \vec{a}$ 与 $\vec{b} - k \vec{a}$ 相互垂直，求实数k的值．

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19、已知 $cos θ = - \frac{3}{5}, π < θ < \frac{3 π}{2}$ ，则 ${sin}^{2} \frac{θ}{2} + sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} =$ .

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20、已知 $A (- 1, 2), B (2, 0), C (x, 3)$ ，且 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，则 $x =$ .

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$x$	1	2	3
$g (x)$	4	3	-1