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相关试卷

1、如图是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 C、函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $y = f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取得极小值

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2、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - \ln x$ 在区间 $(\frac{1}{3}, 2)$ 内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）

A、 $(9, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 9)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4})$

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3、已知 $A (0, 4)$ ， $B (0, - 4)$ ， $C (4, 0)$ ， $E (0, 1)$ ， $F (0, - 1)$ ，一束光线从F点出发射到 $B C$ 上的D点经 $B C$ 反射后，再经 $A C$ 反射，落到线段 $A E$ 上（不含端点），则 $F D$ 斜率的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{5}{8})$ B、 $(- \frac{5}{8}, 0)$ C、 $(- \infty, - \frac{3}{8})$ D、 $(- \frac{3}{8}, 0)$

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4、已知集合 $A = \{- 3, - 1, 0, 2, 5\}, B = \{x ∣ x^{2} < 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 3, - 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 2\}$ C、 $\{- 3, - 1, 2\}$ D、 $\{0, 2, 5\}$

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5、已知：偶函数 $f (x)$ 定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 且 $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0)$ 上有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ . $(x_{1} \neq x_{2})$ ，若 $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$

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6、如图，已知 $A B$ 是圆柱下底面圆的直径，点 $C$ 是下底面圆周上异于 $A, B$ 的动点， $C D$ ， $B E$ 是圆柱的两条母线．

(1)、求证： $A C D ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 3$ ，圆柱的母线长为 $2 \sqrt{3}$ ，求平面 $A D E$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角的余弦值．

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7、已知 $⊙ O$ 的半径为1，直线PA与 $⊙ O$ 相切于点A，直线PB与 $⊙ O$ 交于B，C两点，D为BC的中点，若 $|P O| = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} + a}$ 为奇函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性（不用证明）；

(3)、设函数 $g (x) = \log_{2} \frac{x}{2} \cdot \log_{2} \frac{x}{4} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, 8]$ ，总存在 $x_{2} \in (0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数m的取值范围．

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9、如图，在梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ D C$ ， $A D = D C = 2$ ， $A B = 4$ ，现将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 翻折成直二面角 $P - A C - B$ .

(1)、证明： $C B ⊥$ 面 $P A C$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足， $a_{1} = 10$ ，公差 $d > 0$ ，且22， $a_{3} + 8$ ， $a_{4} + 6$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2^{n}$ ，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

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11、已知点P，Q分别是拋物线 $C : y^{2} = 4 x$ 和圆 $E : x^{2} + y^{2} - 10 x + 21 = 0$ 上的动点，若抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，则 $2 | P Q | + | Q F |$ 的最小值为

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12、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}, \vec{b} = k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是共线向量，则 $k =$ .

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13、已知复数 $z = \frac{2 cos θ + isin θ}{1 + i} (θ \in R)$ 的实部为0，则 $tan 2 θ =$ ．

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14、下列说法中正确的是（）

A、若复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限 B、已知复数z满足 $(1 + 2 i) z = 2 + i$ ，则 $| z | = 1$ C、 $3 + 2 i$ 是关于x的方程 $2 x^{2} + m x + n = 0$ （m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D、若复数z满足若 $z \in C$ ，且 $| z | = 1$ ，则 $| z - 3 - 4 i |$ 的最小值为4

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15、将 $n^{2} (n \geq 3)$ 个互不相等的数排成下表：
记 $M_{i} = max \{a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i n}\}, n_{j} = min \{a_{1 j}, a_{2 j}, \dots, a_{n j}\}, m = min \{M_{1}, M_{2}, \dots, M_{n}\}$ ， $N = max \{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{n}\}$ ，则下列判断中，一定不成立的是（）
（注： $max \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}, min \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 分别表示集合 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 最大值和最小值．）

A、 $M_{2} < n_{2}$ B、 $M_{2} < n_{3}$ C、 $m < a_{23}$ D、 $m < N$

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16、分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在 $20$ 世纪 $70$ 年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第 $n$ 行黑圈的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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17、已知 $\vec{a} = (3, λ), \vec{b} = (1, 2)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ$ ＝（　　）

A、﹣4 B、1 C、2 D、6

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $θ (θ > 0)$ 个单位后所得曲线关于 $y$ 轴对称，则 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{π}{2}$

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19、已知函数 $f (x) = \log_{m} \frac{x - 3}{x + 3}$ ，其中 $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ．

(1)、当 $f (5) = - 2$ 时，
（i）解不等式 $f (x) < 1$ ；
（ii）若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + 1 < \log_{2} a + \log_{2} (2 x + 3)$ 在 $x > 3$ 时恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、是否存在正实数 $m$ ，使得当函数 $f (x)$ 的定义域为 $[α, β] (β > α > 3)$ 时，其值域恰好为 $[\log_{m} (m β - m) ， \log_{m} (m α - m)]$ ？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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20、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x - \sqrt{3} a \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} a + b (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、设 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最值（用 $a, b$ 表示）；

(3)、若第二象限角 $α$ 且满足 $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) = \frac{a}{3} + b$ ，求 $\cos (2 α + \frac{π}{3})$ 的值．

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