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相关试卷

1、设 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} = {(b + 1)}^{3}$ ”是“ $3^{a} > 3^{b}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、若集合 $A = \{x | y = \sqrt{- x^{2} + 1}\}, B = {x | |x - 1| \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[- 1, 1]$

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, A C = 7, ∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、已知点D在平面 $A B C$ 内，且 $∠ A D B = ∠ A C B$ ，求四边形 $A B D C$ 的周长的最大值．

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4、如图， $A B$ 是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且 $A P ⊥ P Q$ ．

(1)、求证： $P Q ⊥ B Q$ ；

(2)、若 $A B = 4, A P = 1, B Q = 3$ ，求直线 $P Q$ 与平面 $A B Q$ 所成角的正弦值．

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5、已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，第 $i$ 层抽取的样本量、样本均值和样本方差分别为 $n_{i}, \bar{x_{i}}, s_{i}^{2}, i = 1, 2$ ．记总样本数据的均值为 $\bar{x}$ ，总样本数据的方差为 $s^{2}$ ．

(1)、写出 $\bar{x}$ 与 $s^{2}$ 的计算公式（直接写出结果，不需证明）；

(2)、某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位： $cm$ ），计算得男生样本的均值为172.5，方差为16，女生样本的均值为162.5，方差为30．
（i）如果已知男、女样本量按比例分配，试计算出总样本的均值与方差；
（ii）如果已知男、女的样本量都是50，试计算出总样本的均值与方差，此时将它们分别作为总体的均值与方差的估计合适吗？请说明理由．

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6、已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的所有棱长都为 $6$ ，点 $E$ 在侧棱 $S C$ 上，过点 $E$ 且垂直于 $S C$ 的平面截该棱锥，得到截面多边形 $H$ ，则 $H$ 的边数至多为， $H$ 的面积的最大值为．

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7、如图，一条河两岸平行，河的宽度为 $400m$ ，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为 $5km/h$ ，水流速度的大小为 $3km/h$ ，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 $\min$ ．

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8、已知复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = a + b i, a, b \in R, z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的向量分别为 $\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}$ ，其中O为原点，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{O Z_{1}} // \vec{O Z_{2}}$ ，则 $a + b = 0$ B、若 $\vec{O Z_{1}} // \vec{O Z_{2}}$ ，则 $\frac{z_{2}}{z_{1}} \in R$ C、若 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ ，则 $a = b$ D、若 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ ，则 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1} - z_{2}|$

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9、设A，B易两个随机事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若A，B是互斥事件，则 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ C、若A，B是相互独立事件，则 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ D、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{3}$ ，则A，B是相互独立事件

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10、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆圆心， $O A = 2, ∠ B A C = 45 °$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O C}$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11、已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线 $S A$ 与 $S B$ 互相垂直， $△ S A B$ 的面积为2， $S A$ 与圆锥底面所成的角为 $30 °$ ，则（）

A、圆锥的高为 $\sqrt{2}$ B、圆锥的侧面积为 $3 π$ C、二面角 $S - A B - O$ 的大小为 $45^{\circ}$ D、圆锥侧面展开图的圆心角为 $120^{\circ}$

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12、如图， $A, B$ 是海面上位于东西方向相距 $(3 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点，现位于A点北偏东 $45 °$ 、B点北偏西 $60 °$ 的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西 $60 °$ 且与B点相距 $4 \sqrt{3}$ 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（）

A、0.2小时 B、0.3小时 C、0.5小时 D、1小时

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13、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A E // B C_{1}$ B、 $A E ⊥ B_{1} C$ C、 $B D_{1} //$ 平面 $A C E$ D、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C E$

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14、已知 $l$ 是一条直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平而，则下列命题正确的是（）

A、若 $l // α$ ， $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $l // α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l // β$ D、若 $l ⊥ α$ ， $α // β$ ，则 $l ⊥ β$

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15、从 $1 ~ 30$ 这 $30$ 个正整数中随机选择一个数，则这个数既不能被 $2$ 整除也不能被 $3$ 整除的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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16、有一组数据按从小到大排序如下：70，71，73，75，76，则这组数据的40%分位数，70%分位数分别是（）

A、71，74 B、71，75 C、72，74 D、72，75

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17、已如复数 $z = \frac{3 + 4 i}{1 - 2 i}$ ，则 $z$ 的实部是（）

A、 $- 1$ B、2 C、3 D、5

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18、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为M，区间 $I \subseteq M$ ，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in I$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，记 $Δ x = x_{2} - x_{1}$ ， $Δ y = f (x_{2}) - f (x_{1})$ ．若 $Δ y + Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在I上具有性质A；若 $Δ y - Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在I上具有性质B：若 $Δ y \cdot Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在I上具有性质C；若 $\frac{Δ y}{Δ x} > 0$ ，则称 $f (x)$ 在I上具有性质D．

(1)、记①充分不必要条件：②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件，
则 $f (x)$ 在I上单调递增是 $f (x)$ 在I上具有性质A的________（填正确选项的序号）：
$f (x)$ 在I上单调递增是 $f (x)$ 在I上具有性质B的________（填正确选项的序号）；
$f (x)$ 在I上单调递增是 $f (x)$ 在I上具有性质D的________（填正确选项的序号）；

(2)、若 $f (x) = a {(x + 1)}^{2} - 1$ 在 $[1, + \infty)$ 满足性质B，求实数a的取值范围；

(3)、是否存在m， $n \in R$ ，使得函数 $g (x) = \frac{2}{| x - 1 |}$ 在区间 $[m, n]$ 上恰满足性质A，B，C，D中的一个？若不存在，请说明理由：若存在，求实数m的最小值．

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19、2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，统计结果如图所示．

(1)、试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）；

(2)、从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在 $[90, 100]$ 的人数为X，试求X的分布列和均值：

(3)、以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，经计算 $σ^{2} = 42.25$ ．若 $μ - σ < X \leq μ + 3 σ$ ，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若 $X > μ + 3 σ$ ，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ；

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20、如图，多面体 $A B C D E$ 中，直角梯形 $A B C D$ 所在平面与正三角形 $A B E$ 所在平面垂直， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B = A D = 2 C D = 4$ ．

(1)、求该多面体的体积V；

(2)、在棱 $B C$ 上是否存在点P，使得直线 $P E$ 和平面 $A D E$ 所成的角大小为 $30 °$ ？若存在，求出 $\frac{B P}{B C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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