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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a} = (x - 1, 4)$ ， $\vec{b} = (2, x + 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、5

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2、在复平面内，i为虚数单位，若复数 $z = (1 + i) (2 - i)$ ，则z的实部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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3、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”

(1)、判断 $g (x) = 2 cos x$ ， $x \in [0, 4 π]$ 是否为 $f (x) = sin x + \sqrt{3} cos x$ ， $x \in [0, π]$ 的“4重覆盖函数”，并说明理由；

(2)、若 $g (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ， $x \in [- \frac{π}{12}, π]$ 是 $f (x) = tan x$ ， $x \in [0, m]$ 的“3重覆盖函数”，求 $m$ 的范围；

(3)、若 $g (x) = \frac{1 - |\sin ω x|}{x}$ ， $ω > 0$ ， $x \in (0, + \infty)$ 是 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $x \in [5, 6]$ 的“9重覆盖函数”，求 $ω$ 的取值范围．

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4、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $cos C = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $a = 2 \sqrt{5}$ ， $A B$ 边上的中线 $C D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求 $b$ ；

(2)、求 $A$ ；

(3)、若 $E$ ， $F$ 分别为边 $A C$ ， $B C$ 上的动点，现沿线段 $E F$ 折叠三角形，使顶点 $C$ 恰好落在 $A B$ 边上 $G$ 点，求 $C E$ 长度最小值．

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5、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A E ⊥$ 平面 $C D E$ ，已知 $A E = D E = 2$ ， $F$ 为线段 $D E$ 的中点.

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $A C F$ ；

(2)、求四棱锥 $E - A B C D$ 的体积.

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6、某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成 $[5, 15)$ ， $[15, 25)$ ， $[25, 35)$ ， $[35, 45)$ ， $[45, 55)$ ， $[55, 65]$ 六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．

(1)、求 $x$ 并估计开业当天所有滑雪的人年龄在 $[25, 35)$ 有多少人？

(2)、由频率分布直方图估计样本平均数 $\bar{x}$ 和中位数 $a$ ；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）

(3)、在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．

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7、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的三等分点（ $A F = \frac{1}{3} A D$ ， $B G = \frac{1}{3} B C$ ），设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、若 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) (2 \vec{a} + \vec{b}) = 13$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

(2)、若 $|\vec{b}| = \frac{3}{2} |\vec{a}|$
① $\vec{E F}$ 与 $\vec{E G}$ 夹角余弦值；
②判断四边形 $E F C G$ 的形状，并说明理由.

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8、已知正四面体的棱长为 $a$ ，球 $O_{1}$ 与正四面体六条棱相切，球 $O_{2}$ 与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 $\frac{V_{O_{1}}}{V_{O_{2}}} =$ ．

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9、从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是.

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10、一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为 $a$ ，第三四分位数为 $b$ ，则 $a + b =$ ；

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ 则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 最大值为3 C、若 $λ \vec{a} + \vec{b} = 0$ ，则 $λ = - 2$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4})$

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12、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{3 + 2 i}{2 - i}$ ，则（）

A、 $\bar{z} = \frac{7 - 4 i}{5}$ B、 $z$ 的虚部为 $\frac{7}{5}$ C、 $z \cdot \bar{z} = \frac{13}{5}$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第一象限

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13、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的图象如图所示，则 $f (0)$ 的值为（）

A、1 B、0 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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14、投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 $A$ ， “骰子向上的点数大于4”为事件 $B$ ，则事件 $A$ ， $B$ 中至少有一个发生的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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15、如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（）

A、数据中可能存在极端大的值 B、这组数据是不对称的 C、数据中众数一定不等于中位数 D、数据的平均数大于中位数

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16、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 4$ D、4

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17、若 $(1 + 2 i) \bar{z} = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + i$ D、 $2 - i$

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18、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在n个不同的实数 $x_{i} \in D_{2} ($ 其中 $i = 1$ ， 2， $\dots$ ， n， $n \in N^{*})$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ ，则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“n重覆盖函数”，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 为一组关于 $x_{0}$ 的“覆盖点”.

(1)、判断 $g (x) = x^{2} - 4$ 是否为 $f (x) = |x|$ 的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} ， a \leq x < \frac{1}{2} ， \\ 2^{- |x - 1|} ， \frac{1}{2} \leq x < 2 \end{array}$ 为 $f (x) = cos x$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{4}]$ 的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围；

(3)、若 $g (x) = x^{2} + a x$ ， $x \in [0 ， 1]$ 为 $f (x) = b$ 的“n重覆盖函数”，求 $a^{2} + 2 b^{2} + 6 b$ 的最小值.

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19、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}} .$

(1)、若 $a {log}_{3} 2 = 1$ ，求 $f (a)$ 的值；

(2)、根据函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

(3)、若存在 $x \in [4, 16]$ ，使得不等式 $f ({(\log_{2} x)}^{2} - m \log_{2} x + 1) - x + \frac{1}{x} \geq 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线 $l (l$ 为直线 $)$ 距离均为 $75 \sqrt{3} km ($ 如图 $)$ ，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为 $50 \sqrt{3} km$ ，需在A，B，C之间设置补能点 $M ($ 无人机需经过补能点M更换电池 $)$ ，且 $M C ⊥ l$ ， $∠ A M B = \frac{π}{2} .$ 设 $∠ M A B = θ .$

(1)、当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，求无人机从A到C运输航程 $| M A | + | M C |$ 的值；

(2)、求 $| M A | + | M B | + | M C |$ 的取值范围.

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