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相关试卷

1、2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线 $l (l$ 为直线 $)$ 距离均为 $75 \sqrt{3} km ($ 如图 $)$ ，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为 $50 \sqrt{3} km$ ，需在A，B，C之间设置补能点 $M ($ 无人机需经过补能点M更换电池 $)$ ，且 $M C ⊥ l$ ， $∠ A M B = \frac{π}{2} .$ 设 $∠ M A B = θ .$

(1)、当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，求无人机从A到C运输航程 $| M A | + | M C |$ 的值；

(2)、求 $| M A | + | M B | + | M C |$ 的取值范围.

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2、如图，角 $α$ ， $β$ 的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆交于点 $A (\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ ， $B (- \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10}) .$

(1)、求 $sin (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求扇形 $A O B ($ 阴影部分 $)$ 的面积.

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3、已知集合 $A = {x | a + 2 \leq x \leq 3 a}$ ， $B = \{x | (x - 5) (x - 3) \leq 0\}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cap B;$

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $\{x |x \neq \pm 2\}$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ .若 $x \in [t, a]$ ， $f (x)$ 的值域是 $[0, \frac{1}{2}]$ ，则 $t + a =$ .

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5、若正数x，y满足 $x y + 9 = x$ ，则 $x + \frac{1}{y}$ 的最小值为.

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6、 ${log}_{3} 5 - {log}_{3} 15 =$ .

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7、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，满足 $f (1) = 2$ ， $f (x) = f (2 - x)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上单调递增，则（）

A、若 $f (x)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 是周期为2的周期函数 B、若 $f (x)$ 是偶函数，且函数 $y = |f (x)|$ 的最大值为3，则 $f (2 k) = - 3 (k \in Z)$ C、若 $f (x)$ 是奇函数，则函数 $y = f (x) - \sqrt{2}$ 在 $[0, 6]$ 上的所有零点之和为18 D、若 $f (x)$ 是奇函数，则方程 $f (x + 2) = f (x) + 2$ 在 $[- 2, 4]$ 上有四个不同的实数根

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8、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} s i n ω x + {c o s}^{2} \frac{ω x}{2} - \frac{1}{2} (ω > 0, x \in R)$ ，则（）

A、若函数 $f (x)$ 的周期为 $π$ ，则 $ω = 1$ B、若 $ω = 2$ ，则函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到 C、若 $ω < 5$ 且直线 $x = \frac{π}{9}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴，则 $f (x)$ 在 $(\frac{4 π}{9}, \frac{7 π}{9})$ 上单调递增 D、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 2 π)$ 上没有零点，则 $ω \in (0, \frac{5}{12}]$

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9、已知幂函数 $f (x) = x^{α} (α$ 为常数 $)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象都经过点 $(1, 1)$ B、若 $α = 3$ ，则 $f (3) = 27$ C、若 $α = - 1$ ，则函数 $f (x)$ 为偶函数 D、若函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(4, 2)$ ，则函数 $f (x)$ 在其定义域上单调递减

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10、已知函数 $f (x) = {(x + 2)}^{3} + x$ ，若 $f (a) + f (b) = - 4$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、4

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11、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - a x + 6)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $[4, 5]$ C、 $(- \infty, 7]$ D、 $[4, 7]$

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12、已知 $cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则（）

A、 $cos (π + α) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $sin (- α) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $cos (\frac{3 π}{2} + α) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $sin (\frac{π}{2} - α) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

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13、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{3, 4, 5, 6\}$ ，则Venn图中的阴影部分 $($ 如图 $)$ 表示的集合是（）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{5, 6\}$ D、 $\{1, 2, 5, 6\}$

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14、 $- \frac{2 π}{3}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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15、已知向量 $\vec{a} = (x, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ， $\vec{c} = (3, 2)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) / / (\vec{b} + \vec{c})$ ，则实数 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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16、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B D$ 是等边三角形， $B D ⊥ D C$ ， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ D B C = 60^{\circ}$ ， $E$ ， $F$ 分别 $A D$ ， $D C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $A D C$ ；

(2)、求二面角 $E - B F - D$ 的余弦值.

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17、 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $A B = 6 ， B D = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的内切圆的半径.

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18、（1）已知 $m \in R$ ，复数 $z = (2 m^{2} - 3 m + 1) + (3 m^{2} - 4 m + 1) i$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；
（2）已知 $x ， y \in R$ ，设 $\frac{x + 11 i}{2 + i} = 3 + y i （ i$ 是虚数单位），求 $|x + y i|$ .

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19、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b}$ 是单位向量，若 $|3 \vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{31}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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20、在单位圆上有三点 $A, B, C$ ，设 $△ A B C$ 三边长分别为 $a, b, c$ ，则 $\frac{a + b + c}{sin A + sin B + sin C} =$ .

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