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相关试卷

1、定义函数 $f (x) = m sin x + n cos x$ 的“源向量”为 $\vec{O M} = (m, n)$ ，非零向量 $\vec{O M} = (m, n)$ 的“伴随函数”为 $f (x) = m sin x + n cos x$ ，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、若向量 $\vec{O M}$ 的“伴随函数”为 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ ，求与 $\vec{O M}$ 向量方向相同的单位向量；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若函数 $h (x)$ 的“源向量”为 $\vec{O M} = (0, 1)$ ，且已知 $a = 8, h (A) = \frac{3}{5}$ ；
（ⅰ）求 $△ A B C$ 周长的最大值；
（ⅱ）求 $|\vec{A B} + \vec{A C}|$ 的最大值．

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2、已知函数 $f (x) = 3 \sqrt{3} sin x cos x + 3 {cos}^{2} x - \frac{3}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(3)、若 $f (x) = 2$ 且 $x \in [0, \frac{π}{6}]$ ，求 $f (x - \frac{π}{12})$ 的值．

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3、 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边，已知 $\sqrt{5} a \cos A = b \cos C + c \cos B$ ．

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{13}$ ， $b = \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、已知复数 $z = m^{2} + m - 2 + (m - 1) i (m \in R)$ .

(1)、若 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $y = \frac{1}{3} x$ 上，求 $|z|$ .

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5、已知点 $O (0, 0)$ ，向量 $\vec{O A} = (2, 3), \vec{O B} = (6, - 3)$ ，点 $P$ 是线段 $A B$ 上靠近 $A$ 点的三等分点，求点 $P$ 的坐标．

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6、复数 $z = \frac{2 - i}{1 + 2 i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z} =$ .

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7、有下列四种变换方式，能将 $y = sin x$ 的图象变为 $y = sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象的是（）

A、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变） D、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，再将横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变）

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8、下列命题中正确的是（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ B、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ D、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $〈 \vec{A B}, \vec{B C} 〉 = \frac{2 π}{3}$

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9、设 $a = \cos^{2} 12 ° - \sin^{2} 12 °$ ， $b = \frac{2 \tan 12 °}{1 - \tan^{2} 12 °}$ ， $c = \sqrt{\frac{1 - \cos 48 °}{2}}$ ，则有（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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10、在 $△ A B C$ 中， $\sin^{2} A \tan B = \sin^{2} B \tan A$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、等腰或直角三角形

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11、已知 $\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (t, 1), (\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、50 B、 $5 \sqrt{2}$ C、2 D、 $3 \sqrt{2}$

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12、已知 $|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 4$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 10$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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13、若复数 $z$ 满足 $z \cdot (2 - i) = i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $\sin (B - A) + \sqrt{2} \sin A = \sin C$ ．

(1)、已知 $b = 4$ ，若 $D$ 在 $A C$ 上，且 $B D ⊥ A C$ ，求 $B D$ 的最大值；

(2)、延长 $B C$ 至点 $M$ ，使得 $2 \vec{B C} = \vec{C M}$ ．若 $∠ C A M = \frac{π}{4}$ ，求 $∠ B A C$ 的大小．

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15、点A是曲线 $y = \frac{3}{2} x^{2} - \ln x$ 上任意一点，则点A到直线 $y = 2 x - 1$ 的最小距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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16、已知曲线 $C_{1} : y = e^{x}$ ，直线 $C_{2} : y = x + m$ .

(1)、若 $m = 1$ ，判断直线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 公共点的个数；

(2)、已知直线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 相交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点.
①求 $m$ 的取值范围；
②证明： $x_{1} x_{2}^{2} + x_{1}^{2} x_{2} > 0$ .

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17、已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长.

(1)、若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数；

(2)、若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；

(3)、从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 3 n^{2} + 2^{n + 1}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式，并证明 $\{a_{n + 1} - 2^{n + 1}\}$ 为等差数列；

(3)、若 $b_{n} = \frac{1}{(2 n + 1) (a_{n} - 2^{n})}$ ，求 $b_{2} + b_{3} + \dots + b_{100}$ .

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19、已知函数 $f (x) = 6 x + 2 \cos x - 1$ .

(1)、求 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (π + Δ x) - f (π)}{Δ x}$ ；

(2)、若函数 $g (x) = x f (x) + 1$ ，求曲线 $y = g (x)$ 在点 $(0, g (0))$ 处的切线方程.

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20、将2个i，2个n，2个o与1个p随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词opinion的概率为.

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