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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - (a + 1) x + a \ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) \leq \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x$ ．

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2、设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 1$ .

(1)、求曲线 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(3)、求出方程 $f (x) = m (m \in R)$ 的解的个数.

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3、若 ${(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ，求：

(1)、求 $a_{4}$ 的值；

(2)、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7}$ ；

(3)、 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{7}|$ ．

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4、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 12 x + b$ 在 $x = 2$ 处取得极小值5.

(1)、求实数a，b的值；

(2)、当 $x \in [0, 3]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值.

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5、若函数 $f (x) = x^{2} - a ln x + 1$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的最大值为．

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6、已知函数 $y = f (x)$ ，其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则对于函数 $y = f (x)$ 的描述正确的是（）

A、在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 B、在 $x = 0$ 处取得极大值 C、在 $(4, + \infty)$ 上单调递减 D、在 $x = 2$ 处取得最小值

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7、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (- 3) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) + x f^{'} (x) < 0$ ，则使得 $f (x) < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$

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8、若 $(x^{2} - a) {(x - \frac{1}{x})}^{10}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数为30，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{10}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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9、已知事件 $A$ ， $B$ ，若 $A \subseteq B$ ，且 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.7$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A B) = 0.28$ B、 $P (A | B) = 0.4$ C、 $P (B | \bar{A}) = 0.5$ D、 $P (B | A) = \frac{4}{7}$

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10、若曲线 $f (x) = e^{2 a x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线与直线 $x - y + 1 = 0$ 垂直，则a的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11、某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（）

A、120种 B、84种 C、52种 D、48种

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12、函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值是（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、0 C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13、函数 $f (x) = x ln x$ 的单调递减区间是（）

A、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{e})$ C、 $(e, + \infty)$ D、 $(0, \frac{1}{e})$

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14、函数 $y = \frac{1}{6} t^{3} - 2$ 在 $t = 2$ 时的瞬时变化率为（）

A、0 B、2 C、4 D、6

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意 $x \in R$ ，满足 $f (x + 1) - f (x - 1) = x$ ，且 $f (1) = f (2) = 1$ 则下列结论一定正确的是（）

A、 $f (100) < 2500$ B、 $f (100) > 2500$ C、 $f (101) < 2500$ D、 $f (101) > 2500$

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16、如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入 ${38cm}^{3}$ 的水，水面高度恰好为棱台高度的 $\frac{1}{2}$ ，且 $A B = 6 cm$ ， $A_{1} B_{1} = 2 cm$ ，则这个容器的容积为（） ${cm}^{3}$

A、 $52$ B、 $60$ C、 $68$ D、 $76$

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17、设函数 $f (x) = {sin}^{n} x + {cos}^{n} x (n \in N^{*})$ ．

(1)、当 $n = 4$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $n = 6$ 时，求 $f (x)$ 的取值范围；

(3)、若存在 $n$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f (x) + a (sin x + cos x) - a \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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18、 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} a = b \sin C + \sqrt{3} b \cos C$ ．

(1)、求角B；

(2)、设 $△ A B C$ 的垂心为H，若 $\vec{B H} \cdot \vec{B C} = 2 c^{2}$ ．
（i）求 $\frac{a}{c}$ 的值；
（ii）求 $cos A$ 的值．

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19、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $C A = C B$ ， D为 $C B$ 中点，E为 $A B$ 上一点，且 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ，设 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ．

(1)、请用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 来表示 $\vec{A D}$ ， $\vec{C E}$ ；

(2)、若 $A D ⊥ C E$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，求 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C E}$ 夹角的余弦值．

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20、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (1 + 2 x) - {log}_{a} (1 - 2 x) (a > 0, a \neq 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并给予证明；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集．

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