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相关试卷

1、定义平面非零向量之间的一种运算“*”，记 $\vec{a} * \vec{b} = (\cos θ) \cdot \vec{a} + (\sin θ) \cdot \vec{b}$ （其中 $θ$ 是非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角），若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 均为单位向量，且 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{1}{2}$ ，则 $|(4 \vec{e_{1}}) * (2 \sqrt{3} \vec{e_{2}})| =$ .

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2、已知a，b，c分别是 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边，若 $\sin^{2} B = 2 \sin A \sin C$ ， $a = c$ ，则 $C =$ .

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3、复数 $\frac{1}{1 - i}$ 的实部是.

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4、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M, N, P$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ ， $B C$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C Q} = λ \vec{C C_{1}}$ ， $λ \in (0, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P Q / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、若Q，M，N，P四点共面，则 $λ = \frac{1}{4}$ C、过点Q有且仅有一条直线与 $D B_{1}$ ， $A A_{1}$ 都相交 D、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，点F在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 上（包括边界），且 $A_{1} F / /$ 平面 $A P Q$ ，则点F的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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5、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是π B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{6}, 0)$ 对称 C、 $f (0) = - 1$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{π}{2})$ 上的值域为 $[- 2, \sqrt{3})$

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6、如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ，半径分别为2和4，高为 $2 \sqrt{3}$ ，四边形 $A B C D$ 为圆台 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面，则（）

A、圆台的母线长为6 B、圆台的体积为 $\frac{56 \sqrt{3} π}{3}$ C、圆台的侧面积为24π D、圆台外接球的半径为4

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7、已知函数 $f (x) = \cos (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{5 π}{6})$ 恒成立，若函数 $y = f (x)$ 在 $[0, a]$ 单调递减，则 $a$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，半径为1，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $|\vec{A B}| = |\vec{A C}|$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的值为（）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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9、已知一个圆锥的底面半径为 $3$ ，其体积为 $12 π$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $6 π$ B、 $9 π$ C、 $12 π$ D、 $15 π$

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10、将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{12})$ D、 $y = \sin 2 x$

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11、若 $\cos α = - \frac{3}{5}$ ， $α$ 是第三象限的角，则 $\sin (π - α) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12、 $\vec{P M} - \vec{P N} + \vec{M N} =$ （）

A、 $2 \vec{M N}$ B、 $2 \vec{N M}$ C、 $\vec{P M}$ D、 $\vec{0}$

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13、设 $a + 3 i = (b + i) i$ ，其中a，b为实数，则（）

A、 $a = 1$ ， $b = - 3$ B、 $a = - 1$ ， $b = 3$ C、 $a = - 1$ ， $b = - 3$ D、 $a = 1$ ， $b = 3$

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14、某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为.（用数字作答）

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15、如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形．
（1）设 $M$ 为 $O A$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $N$ 为 $B C$ 上靠近 $B$ 的三等分点．求证： $M N / /$ 平面 $O C D$ ．
（2）设 $E$ 是 $O D$ 上靠近点 $D$ 的一个三等分点，试问：在 $O D$ 上是否存在一点 $F$ ，使 $B F //$ 平面 $A C E$ 成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．

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16、如图，已知四面体 $P A B C$ 的棱长均为6，棱 $P A, P B, P C$ 的中点分别为 $D, E, F$ ，用平面 $D E F$ 截四面体 $P A B C$ ，得到三棱台 $D E F - A B C$ .

(1)、求三棱台 $D E F - A B C$ 的体积；

(2)、若 $M$ 为棱 $B C$ 上的动点，求 $E M + M A$ 的最小值，并求取最小值时线段 $B M$ 的长度.

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17、在 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是三内角 $A, B, C$ 的对边，若满足条件 $c = 4, ∠ B = 60^{\circ}$ 的三角形的解有两个，则 $b$ 的长度范围是（　　）

A、 $(0, 2)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(2 \sqrt{3}, 4)$ D、 $(4, + \infty)$

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18、如图所示，点 $E$ 为 $△ A B C$ 的边 $A C$ 的中点， $F$ 为线段 $B E$ 上靠近点B的三等分点，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $\frac{4}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$

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19、已知复数z满足 $z (1 + i) = |1 - i|$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $i$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$

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20、如图1，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， M是边BC上的一点，将 $△ A B M$ 沿着AM折起，使点B到达点P的位置.

(1)、如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证： $C N ∥$ 平面PAM；

(2)、如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上.
①求证： $C D ⊥$ 平面PAD；
②求点M的位置，使三棱锥 $P - H C D$ 的外接球的体积最大，并求出最大值.

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