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相关试卷

1、等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $a_{2} + a_{4} = 5$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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2、当 $- \frac{1}{2} < m < 2$ 时，复数 $\frac{m + i}{2 + i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、已知集合 $A = \{x |- 3 < x < 4\}$ ， $B = \{x |3 < x < 5\}$ ，则 $\{x | 4 \leq x < 5\} =$ （）

A、 $A \cap (∁_{R} B)$ B、 $∁_{R} (A \cap B)$ C、 $(∁_{R} A) \cup B$ D、 $(∁_{R} A) \cap B$

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4、为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于 $170 cm$ 的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表（单位：人)：
性别
身高
合计

低于 $170 cm$
不低于 $170 cm$

女
14
5
19
男
8
10
18
合计
22
15
37

(1)、依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联?

(2)、从身高不低于 $170 cm$ 的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望 $E (X)$ .

(3)、若低于 $170 cm$ 的8 名男生身高数据的平均数为 $\bar{x} = 166.5$ ，方差为 $s_{1}^{2} = 9$ ，不低于 $170 cm$ 的10名男生身高数据的平均数为 $\bar{y} = 180$ ，方差为 $s_{2}^{2} = 18$ .请估计该中学男生身高数据的平均数和方差.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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5、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图，则（）

A、 $A = \sqrt{3}$ B、函数 $f (x + \frac{π}{3})$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x + \frac{π}{3})$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有4个极值点

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6、镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度 $h = 1.5 m$ ，某建筑物高 $h_{1} = 4.5 m$ ，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离 $a_{1} = 1.2 m$ ，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离 $a_{2} = 3.2 m$ ，则镜子后移距离a为（）

A、6m B、5m C、4m D、3m

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7、如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ．
（1）证明： $A_{1} C$ $⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；
（2）若 $D$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，在棱 $A B$ 上是否存在一点 $E$ ，使DE∥平面 $A B_{1} C_{1}$ ？证明你的结论．

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8、如图：在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A B = 2$ ， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求三棱锥 $M - A B C$ 的体积；

(2)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A M C$ ；

(3)、若 $N$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求证：平面 $A M C / /$ 平面 $B N D_{1}$ .

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9、如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 $B$ 与小岛 $A$ 、小岛 $C$ 相距都为5公里，与小岛 $D$ 相距为 $3 \sqrt{5}$ 公里．已知角 $A$ 为钝角，且 $\sin A = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求小岛 $A$ 与小岛 $D$ 之间的距离；

(2)、记 $∠ C D B$ 为 $α$ ， $∠ C B D$ 为 $β$ ，求 $\sin (2 α + β)$ 的值．

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10、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ P A C$ 是等腰直角三角形， $P A = 6$ ， $A B ⊥ B C$ ， $C H ⊥ P B$ ，垂足为H，D为 $P A$ 的中点，则当 $△ C D H$ 的面积最大时， $C B =$ .

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11、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角大小为.

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12、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点E在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）

A、 $F M // A_{1} C_{1}$ B、 $B M ⊥$ 平面 $C C_{1} F$ C、存在点E，使得平面 $B E F //$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ D、三棱锥 $B - C E F$ 的体积为定值

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13、下列命题中的真命题是（）

A、若直线a不在平面 $α$ 内，则a∥ $α$ B、若直线l上有无数个点不在平面 $α$ 内，则l∥ $α$ C、若l∥ $α$ ，则直线l与平面 $α$ 内任何一条直线都没有公共点 D、平行于同一平面的两直线可以相交

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14、“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 $O$ 的半径2，点 $P$ 是圆 $O$ 内的定点，且 $O P = \sqrt{2}$ ，弦 $A C, B D$ 均过点 $P$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 为定值 B、当 $A C ⊥ B D$ 时， $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 为定值 C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ 的取值范围是 $[- 4, 0]$ D、 $|\vec{A C}| \cdot |\vec{B D}|$ 的最大值为12

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15、已知平面向量 $\vec{a} = (\sin α, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (\cos α, 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、0 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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16、在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (- 2, 3)$

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17、已知 $O$ 为坐标原点，对于函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的伴随向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的伴随函数.

(1)、设函数 $g (x) = \sin (x + \frac{5 π}{6}) + \cos (\frac{3 π}{2} + x)$ ，试求 $g (x)$ 的伴随向量的坐标；

(2)、记向量 $\vec{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的伴随函数为 $f (x)$ ，当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 时，求 $\sin x$ 的值；

(3)、设向量 $\vec{O P} = (2 λ, - 2 λ)$ ， $λ \in R$ 的伴随函数为 $u (x)$ ， $\vec{O Q} = (1, 1)$ 的伴随函数为 $v (x)$ ，记函数 $h (x) = u (x) + v^{2} (x)$ ，求 $h (x)$ 在 $[0, π]$ 上的最大值.

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18、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0, A > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的一段图象过点 $(0, 1)$ ，如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(3)、若 $f (α) = \frac{2}{3}, α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (α - \frac{π}{4})$ 的值.

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19、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 8$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ．

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20、已知 $\vec{a} = (\sin α, 1 - 4 \cos 2 α)$ ， $\vec{b} = (1, 3 \sin α - 2)$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\frac{\sin 2 α}{2 + \cos^{2} α} =$ （）

A、 $\frac{2}{11}$ B、 $\frac{4}{11}$ C、 $\frac{6}{11}$ D、 $\frac{8}{11}$

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性别	身高		合计
	低于 $170 cm$	不低于 $170 cm$
女	14	5	19
男	8	10	18
合计	22	15	37

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828