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相关试卷

1、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求 $c o s A$ ；

(2)、设 $D$ ， $E$ 两点满足： $D$ 在 $B A$ 的延长线上， $D E ∥ B C$ ， $A E ⊥ A C$ .若 $D E = \sqrt{6}$ ，求 $C E$ .

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A C = B C$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $D E ∥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、设 $C C_{1} = 2$ ，直线 $D E$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的角为 $4 5^{∘}$ ，求直线 $D E$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离.

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3、设实数 $q$ 满足：存在数列 ${a_{n}}$ ，使得对于任意 $n \in N^{*}$ ，均有 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{3 n} = n^{2} + n$ ，且 ${a_{n}}$ 中有某连续9项 $a_{k}, a_{k + 1}, ⋯, a_{k + 8}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则 $q$ 的最大值为.

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4、已知 $f (x) = 2 s i n (a x + θ)$ $(a \in Z, 0 \leq θ < 2 π)$ 是偶函数， $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 单调递增，则 $θ =$ ， $f (\frac{2 π}{3}) =$ .

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5、双曲线 $5 x^{2} - 6 y^{2} = 1$ 的离心率为.

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6、已知圆 $C_{1} : (x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : (x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{3} : x^{2} + (y - \sqrt{3})^{2} = 1$ ，直线 $l : y = k x + b$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ 均有两个交点，且 $l$ 被 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ 截得的弦长分别为 $s_{1}$ ， $s_{2}$ ， $s_{3}$ ，则（　　）

A、 $k$ 可以取任意实数 B、满足 $s_{1} = s_{2} = s_{3}$ 的直线 $l$ 共有3条 C、满足 $s_{1} + s_{2} + s_{3} = 3$ 的直线 $l$ 多于3条 D、当 $b = 0$ 时， $s_{1} + s_{2} + s_{3}$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$

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7、在空间中， $A$ ， $B$ 为两个定点，动点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为2，动点 $D$ 到直线 $A B$ 的距离为1.若二面角 $C - A B - D$ 为 $6 0^{∘}$ ，则（　　）

A、 $∠ C A D \geq 6 0^{∘}$ B、 $C D \geq \sqrt{3}$ C、当 $A B ⊥ C D$ 时， $C D ⊥$ 平面 $A B D$ D、当 $A B ⊥$ 平面 $A C D$ 时， $A C ⊥ A D$

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8、设 $z = 3 + 2 i$ ，则（　　）

A、 $\overset{}{\bar{z}} = 3 - 2 i$ B、 $| z | = 5$ C、 $z^{2} = 5 + 12 i$ D、 $\frac{z + 3}{z - i} \in R$

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9、设 $U = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∣ x_{i} \in {- 2, - 1, 1, 2}, i = 1, 2, 3}$ 为空间中64个点构成的集合，点 $P (1, 1, 1)$ ，记样本空间 $Ω = ∁_{U} {P}$ .从 $Ω$ 中随机取一个点，定义随机变量 $X$ 如下：对 $Ω$ 中的每个点 $A (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ ，令 $X (A) = x_{1} + x_{2} + x_{3}$ .则 $X$ 的数学期望为（　　）

A、 $- \frac{1}{21}$ B、 $- \frac{1}{63}$ C、 $0$ D、 $\frac{1}{7}$

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10、一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深厚的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_{i} (i = 1, 2, ⋯, 12)$ ，其中 $a_{1} = 1, a_{2} = a_{3} = 3; a_{4} = a_{5} = 5$ ，且 $a_{6}, a_{7}, ⋯, a_{12}$ 是一个首项为7，公差为2的等差数列.将 $a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{12}$ 分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为 $d (d > 0)$ 的等差数列，则 $d =$ （　　）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11、已知函数 $f (x) = \frac{x + 2}{e^{x} + a}$ 的最大值为1，则 $a =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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12、已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p_{1} x (p_{1} > 0)$ 和 $C_{2} : x^{2} = 2 p_{2} y (p_{2} > 0)$ 均经过点 $(4, 8)$ ，则 $C_{1}$ 的焦点与 $C_{2}$ 的焦点之间的距离为（　　）

A、12 B、 $4 \sqrt{5}$ C、6 D、 $\frac{\sqrt{65}}{2}$

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13、曲线 $y = 5 x + 8 l n x$ 在点 $(1, 5)$ 处的切线方程为（　　）

A、 $y = 3 x + 2$ B、 $y = 5 x$ C、 $y = 8 x - 3$ D、 $y = 13 x - 8$

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14、已知集合 $A = {s i n \frac{7 π}{6}, c o s \frac{5 π}{3}, t a n \frac{5 π}{4}}$ ， $B = {- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}, 1}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 ${- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}}$ B、 ${- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1}$ C、 ${- \frac{1}{2}, 1}$ D、 ${- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}, 1}$

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15、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $2 \vec{a} + y \vec{b} = x \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，则（　　）

A、 $x = 2$ ， $y = - 3$ B、 $x = - 2$ ， $y = 3$ C、 $x = 2$ ， $y = 3$ D、 $x = - 2$ ， $y = - 3$

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16、样本数据6，8，4，5，12的中位数为（　　）

A、5 B、6 C、8 D、9

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17、从包含甲、乙两人的 $7$ 人中选出 $3$ 人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（）种

A、 $120$ B、 $60$ C、30 D、20

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18、如图， $D$ 是等边 $△ O B C$ 内的动点，四边形 $O A D C$ 是平行四边形， $|O A| = |O D| = 1$ .则 $|\vec{O A} + \vec{O B}|$ 的最大值.

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19、如图，设正三角形 $A B C$ 的边长为1. $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ 为 $B C$ 边上的 $n + 1$ 等分点， $Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{n}$ 为 $A C$ 边上的 $n + 1$ 等分点，

(1)、当 $n = 2$ 时，求 $|\vec{O C} + \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} + \vec{O B}|$ 的值；

(2)、当 $n = 2023$ 时，求 $|\vec{O C} + \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} + \dots + \vec{O P_{2023}} + \vec{O B}|$ 的值；

(3)、当 $n = 9$ 时，求 $\vec{O C} \cdot \vec{C P_{i}} + \vec{O C} \cdot \vec{C Q_{j}}$ 的值（用 $i, j$ 表示）.
（参考公式： $1 + 2 + \dots + n = \frac{(1 + n) n}{2}$ ）

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20、《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.

(1)、在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比；

(2)、若 $A B = C C^{'} = 4$ ， $B C = 2$ ：
①在右图（图二）中，求三棱锥 $B^{'} - A^{'} B C^{'}$ 的高.
②求三棱锥 $B^{'} - A^{'} B C^{'}$ 外接球的体积.

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