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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 2 n - 1$ ，则 $S_{7} =$ ．

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2、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点（含边界），则下列说法正确的是（）

A、使三棱锥 $F - A D_{1} E$ 体积取得最大值的点 $F$ 唯一 B、存在点 $F$ ，使得直线 $C_{1} F$ 与 $C_{1} E$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ C、 $D_{1} E ⊥ A F$ 时，点 $F$ 的轨迹是线段 D、 $D_{1} E / /$ 平面 $A_{1} C_{1} F$ 时，点 $F$ 的轨迹长为 $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$

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3、已知 $f (x) = a x^{2} + 2 \ln x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a \geq 0$ 时， $f (x)$ 有唯一的零点 B、 $a < 0$ 时， $f (x)$ 存在极小值 C、 $a < 0$ 时， $f (x)$ 存在极大值 D、若 $f (x) < 0$ ，则 $a$ 的范围为 $- \frac{1}{e} < a < 0$

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4、若 $6^{a} = 2$ ， $6^{b} = 3$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $a + b = 1$ B、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$ C、 $a b < \frac{1}{4}$ D、 $a > \frac{1}{3}$

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5、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，点M是抛物线上的动点，则M到直线 $l_{1} : 4 x - 3 y + 5 = 0$ 和 $l_{2} : x = - 2$ 的距离之和的最小值为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{14}{5}$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{3 x + 1}{x} + e^{x} - e^{- x}$ ，定义域为R的函数 $g (x)$ 满足 $g (- x) + g (x) = 6$ ，若函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象有四个交点，分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$ ， $(x_{4}, y_{4})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{4} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、0 B、4 C、8 D、12

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7、设函数 $f (x) = 2 sin(\frac{1}{2} x + φ) - 1$ ，若 $f (x)$ 在 $[0, 5 π]$ 内恰有3个零点，则 $φ$ 的取值不可以为（）

A、 $0$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8、已知点 $P$ 是直线 $l : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 上的动点，过点 $P$ 引圆 $C : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线 $P M$ ， $P N$ ， $M$ ， $N$ 为切点，当 $∠ M P N$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ 时， $r$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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9、某公司对100名员工进行了工作量的调查，数据如表：

认为工作量大
认为工作量不大
合计
男士
40
20
60
女士
20
20
40
合计
60
40
100
若推断“员工的性别与认为工作量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过（）
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

A、0.1 B、0.05 C、0.025 D、0.01

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10、已知复数z满足 $z (1 - i) = i$ ，则复数z对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、设全集 $M = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $A = \{1, 3\}$ ， $B = \{2\}$ ，则 $A \cup (∁_{M} B)$ 等于（）

A、 $\{1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 3, 4\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{1, 3\}$

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12、（1）已知 $f (x) = \frac{\sqrt{125 - 5^{x}}}{{log}_{2} (x + 2)}$ ，求函数 $f (x)$ 的定义域；
（2）解不等式： $lg(3 x - 2) \geq lg (4 - 4 x)$ ．

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13、设正整数 $n \geq 2$ ，对于数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，定义变换 $T$ ， $T$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T (A)$ ： $a_{1} a_{2}, a_{2} a_{3}, \dots, a_{n - 1} a_{n}, a_{n} a_{1}$ ．已知数列 $A_{0} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 满足 $a_{i} \in \{- 1, 1\} (i = 1, 2, \dots, n)$ ．记 $A_{k + 1} = T (A_{k}) (k = 0, 1, 2, \dots)$ ．

(1)、若 $A_{0}$ ： $- 1, 1, 1$ ，写出数列 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ；

(2)、若 $n$ 为奇数且 $A_{0}$ 不是常数列，求证：对任意正整数 $k$ ， $A_{k}$ 都不是常数列；

(3)、求证：当且仅当 $n = 2^{m} (m \in N^{*})$ 时，对任意 $A_{0}$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $A_{k}$ 为常数列．

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14、已知椭圆 $W : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $A$ ， $B$ 分别是 $W$ 的左、右顶点， $C$ 是 $W$ 的上顶点， $△ A B C$ 的面积为2，且 $|A C| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆 $W$ 的方程及长轴长；

(2)、已知点 $M (2, 1)$ ，点 $P$ 在直线 $A C$ 上，设直线 $P M$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，直线 $B P$ 与直线 $E C$ 交于点 $Q$ ，判断点 $Q$ 是否在椭圆 $W$ 上，并说明理由．

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15、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、 $y = f (x + \frac{π}{12})$ 是奇函数 D、当 $x \in [3 π, 4 π]$ 时， $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有2个交点

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16、已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2, 3}$ B、 ${0, 1, 2, 3}$ C、 $[0, 3]$ D、 $(1, 3]$

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的第2项为3，其前5项和为25．数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 4$ ， $b_{3} + b_{2} = 80$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（ⅰ）证明 $\{c_{n}^{2} - c_{2 n}\}$ 是等比数列；
（ⅱ）证明 $\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{a_{i} a_{i + 1}}{c_{i}^{2} - c_{2 i}}} < 2 \sqrt{2}$ ， $n \in N^{*}$ ．

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18、设函数 $f (x) = e^{x + 1} + k x^{2}$ 在 $x = - 1$ 处的切线经过坐标原点，

(1)、求 $k$ ；

(2)、是否存在实数 $a, b$ 使得函数 $g (x) = f (x) + e^{- x} + a x$ 关于直线 $x = b$ 对称，若存在，求出 $a, b$ 的值，若不存在，说明理由；

(3)、若 $f (x) \geq c |x|$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围．

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19、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 1$ ， $B B_{1} = \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{6}$ ， $\vec{B_{1} D} = λ \vec{B_{1} C_{1}} (0 < λ < 1)$ ，

(1)、若 $A C_{1} //$ 平面 $A_{1} B D$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若二面角 $B_{1} - A_{1} B - D$ 与二面角 $D - A_{1} B - C_{1}$ 的大小相等，求 $λ$ 的值．

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20、已知动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (3 \sqrt{2}, 0)$ 的距离与它到定直线 $l : x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 的距离的比是常数 $\sqrt{2}$ ，

(1)、求动点 $M$ 的轨迹；

(2)、过上述轨迹上一点 $P$ 作轨迹的切线与两直线 $y = \pm x$ 分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，证明：三角形 $A O B$ 的面积是定值．

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	认为工作量大	认为工作量不大	合计
男士	40	20	60
女士	20	20	40
合计	60	40	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.1	0.05	0.025	0.01	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828