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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |\log_{2} x < 1\}$ ， $B = \{x |3 x - 1 > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(\frac{1}{3}, 2]$ B、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $R$

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2、如图，我们把由平面内夹角成 $60^{\circ}$ 的两条数轴 $O x$ ， $O y$ 构成的坐标系，称为“完美坐标系”. 设 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别为 $O x$ ， $O y$ 正方向上的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把实数对 $[x, y]$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 的“完美坐标”.

(1)、若向量 $\vec{O P}$ 的“完美坐标”为 $[3 ， 4]$ ，求 $|\vec{O P}|$ ；

(2)、已知 $[x_{1}, y_{1}]$ ， $[x_{2}, y_{2}]$ 分别为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的“完美坐标”. 证明： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + \frac{1}{2} (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$ ；

(3)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的“完美坐标”分别为 $[x_{1}, y_{1}]$ ， $[x_{2}, y_{2}]$ ，求证： $\vec{a} // \vec{b}$ 的充要条件是 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ .

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3、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 2 \sqrt{3})$ ， $C (2 \cos θ, \sin θ)$ ，其中 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ．

(1)、若 $\vec{A B} ∥ \vec{O C}$ ，求 $\tan θ$ 的值；

(2)、设点 $D (1, 0)$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的取值范围．

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4、已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $p (- 4 m, - 3 m) (m > 0)$ .

(1)、求 $\sin θ$ ， $\cos θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (- θ) \cdot \sin (θ - 3 π) \cdot \cos (π + θ)}{\sin (2 π - θ) \cdot \cos (3 π - θ) \cdot \sin (\frac{5π}{2} - θ)}$ 的值.

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, m), \vec{c} = (n, - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} / / \vec{c}$ ，则 $m - n =$ .

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6、已知 $A 、 B 、 C$ 三点在以 $O$ 为圆心，1为半径的圆上运动，且 $A C ⊥ B C$ ，为圆 $O$ 所在平面内一点，且 $|O M| = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|\vec{M C}|$ 的最小值是1 B、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值 C、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最大值是10 D、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最小值是8

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7、下列命题中，正确的命题有（）

A、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等 B、 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ 是 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线的充要条件 C、若 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ， $\vec{b} \neq \vec{0}$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或者相反 D、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，且 $|\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}| = 1$ ，则 $|\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}| = \sqrt{2}$

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8、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 和两点 $A (t, 0)$ ， $B (- t, 0) (t > 0)$ ，若圆 $C$ 上至少存在一点 $P$ ，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} < 0$ ，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 8)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(1, 3)$

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9、如图所示，半圆的直径 $A B = 4$ ， $O$ 为圆心， $C$ 是半圆上不同于 $A, B$ 的任意一点，若 $P$ 为半径 $O C$ 上的动点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、2

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10、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ， $\vec{D M} = 3 \vec{M C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B M} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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11、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} + \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{B C}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{D C}$

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12、以下说法中正确的是（）

A、两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B、两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C、单位向量都是共线向量 D、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l : x - y - 2 = 0$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于M，N两点.

(1)、若 $|M N| = 2 \sqrt{10}$ ，求抛物线C的方程；

(2)、已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和 $Q .$
①求p的取值范围；
②证明：以 $M N$ 为直径的圆过P，Q两点.

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14、如图，在四面体ABCD中， $A D ⊥$ 平面BCD， $∠ B D C = 90^{\circ}$ ， $A D = B D = C D = 4$ ， M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且 $A Q = 3 Q C .$

(1)、证明： $P Q / /$ 平面 $B C D;$

(2)、求平面DPQ与平面MPQ夹角的余弦值.

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15、已知圆C经过点 $A (2, 1)$ ， $B (0, - 1)$ ，并且圆心C在y轴上.

(1)、求圆C的方程；

(2)、记过点B的直线l与圆C的另一个交点为点D，当 $△ A B D$ 的面积为4时，求直线l的方程.

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16、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} a_{3} = 8$ ， $a_{1} + a_{4} = 9.$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为递增数列， $b_{n} = {log}_{2} a_{n} + 1$ ，求数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $S_{n} .$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ 的直线l与C的左、右两支分别交于点M，N，若线段MN的垂直平分线经过点 $F_{1}$ ，则双曲线C的离心率为.

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18、已知两个等差数列2，6，10， $\dots$ ， 118及2，8，14， $\dots$ ， 116，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为.

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19、已知 $\vec{a} = (2, - 1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则x的值为.

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20、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A A_{1}} (x ， y \in [0 ， 1])$ ，下列正确的有（）

A、当 $x = 1$ 时，DP与AC所成角为 $90^{\circ}$ B、当 $y = 1$ 时，平面ADP与平面BCP所成角的最大值为 $60^{\circ}$ C、当 $x^{2} + y^{2} = 1$ 时，DP与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角为 $45^{\circ}$ D、当 $x + y = 1$ 时，点P到直线 $A C$ 距离的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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