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相关试卷

1、不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．

(1)、现从盒子里随机取出2个小球，记事件 $A =$ “有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件 $B =$ “不放回地依次取出时，取出小球编号之和为 $n$ ”，当 $n = 5$ 时，分别求事件 $A, B$ 的概率；

(2)、某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签．
游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜；
游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜；
游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为 $n$ 时获胜．
小明同学决定先玩游戏一，当 $n$ 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？

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2、某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，并将成绩按照 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成了5组.制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

(1)、求频率分布直方图中的x的值：

(2)、估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数；（同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表）

(3)、若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在 $[70, 80)$ 内的至少有2人被抽到的概率.

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3、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°.

(1)、求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $2 \vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围.

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4、如图，在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $B A_{1} //$ 平面 $C_{1} A D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B C - A$ 的正切值．

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5、某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为 $120 °$ 的扇形，则该圆锥的底面直径为．

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6、中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件 $E =$ “只去黄鹤楼”，事件 $F =$ “至少去两个名楼”，事件 $G =$ “只去一个名楼”，事件 $H =$ “一个名楼也不去”，事件 $I =$ “至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（）

A、E与H是互斥事件 B、F与I是互斥事件，且是对立事件 C、 $I = G \cup H$ D、 $E = G \cap I$

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7、甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ ，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{7}{20}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{9}{20}$

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8、如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（）

A、MN∥PD B、MN∥PA C、MN∥AD D、以上均有可能

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9、下列几何体中，不是旋转体的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、复数 $z = - 1 - 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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11、已知 $a = \log_{5} 2$ ， $b = \cos 2$ ， $c = 8^{- \frac{1}{3}}$ ，则a，b，c的大小关系正确的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且 $f (- 1) = 0$ ，若对于任意两个实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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13、数列 $- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5} \dots \dots$ 的一个通项公式为（）

A、 $\frac{1}{n}$ B、 $- \frac{1}{n}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{n}$

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14、若 $e^{x} + x - 1 \geq 2 a x + ln (2 a x + 1)$ 恒成立，则实数 $a =$ ．

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15、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且不等式 $f (x) > f^{'} (x)$ 对任意 $x \in R$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 是“超导函数”.

(1)、判断 $f (x) = e^{x} + 1$ 是否为“超导函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $y = g (x)$ 与 $y = h (x)$ 都是“超导函数”，且对任意 $x \in R$ ，都有 $h^{'} (x) > 0$ ， $g^{'} (x) < 0$ ，记 $F (x) = g (x) h (x)$ ，求证：函数 $y = F (x)$ 是“超导函数”；

(3)、已知函数 $y = φ (x)$ 是“超导函数”且 $φ (1) = e$ ，若有且仅有一个实数 $t$ 满足 $φ (ln t + 1 - a t) = e^{ln t + 1 - a t}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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16、某校派3名男同学和2名女同学参加冬令营，则下列说法正确的是（）

A、从5名同学中任选2人，至少有1名男同学和至少有1名女同学为对立事件 B、若5名同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法 C、若5名同学和1位带队老师合影留念，要求这位老师与其中的甲、乙2名同学站在一起，且站在甲、乙中间，则有48种不同的排法 D、若将这5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案

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17、已知 ${(a \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式共有9项，且常数项为70，下列说法正确的是（）

A、 $n = 9$ B、含 $x^{3}$ 项的系数为 $- 8$ 或 $8$ C、展开式的所有项的系数和为 $- 1$ 或0 D、二项式系数和为256

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18、设 $a = \ln (1.2 e)$ ， $b = e^{0.2}$ ， $c = 1.2$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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19、为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生和4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为（）

A、 $\frac{5}{21}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{25}{42}$

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20、随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码x
1
2
3
4
5
交易额y
9
12
17
21
26

(1)、统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若 $r \in [- 1, - 0.75]$ ，则负相关性很强；若 $r \in [0.75, 1]$ ，则正相关性很强；若 $r \in (- 0.75, - 0.30] \cup [0.30, 0.75)$ ，则相关性一般；若 $r \in (- 0.3, 0.3)$ ，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度.

(2)、求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 43$ ； $\sqrt{465} \approx 21.6$
参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
年份代码x	1	2	3	4	5
交易额y	9	12	17	21	26