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相关试卷

1、已知关于 $x$ 的不等式 $a x + b > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 3}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $b x^{2} + a x > 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- \frac{1}{3} < x < 0\}$ B、 $\{x |x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > 0\}$ C、 $\{x |0 < x < \frac{1}{3}\}$ D、 $\{x |x < 0$ 或 $x > \frac{1}{3} \}$

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2、函数 $f (x) = \sqrt{2 - x} + \frac{1}{x + 1}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup [2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2]$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 ${x ∣ x \neq - 1$ 且 $x \neq 2}$

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3、已知 $a \in R, b \in R$ ．则“ $a b > 1$ ”是“ $a^{2} + b^{2} > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、设集合 $A = \{x \in R ∣ x \leq 4\}, a = \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $\{a\} ⊈ A$ B、 $\{a\} \in A$ C、 $a \in A$ D、 $a \notin A$

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5、已知函数 $f (x) = 3 {log}_{2} x - 2 (x - 1)$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(1, 4)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (4, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (4, + \infty)$ D、 $(0, 4)$

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6、已知点 $A (2, 3), B (- 1, 7)$ ，则与向量 $\vec{A B}$ 方向相反的单位向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

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7、如图，从椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一点 $P$ （异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点 $F_{2}$ 上，经 $x$ 轴反射，反射光线过椭圆上的另一点 $Q$ ．

(1)、写出 $F_{2}$ 的坐标；

(2)、证明：直线 $P Q$ 过定点；

(3)、 $O$ 、 $F_{2}$ 、 $P$ 、 $Q$ 四点能否共圆？请说明理由．

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8、如图，点 $P$ ， $Q$ 都在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，且直线 $P Q$ 与抛物线在 $P$ 处的切线相互垂直．

(1)、求抛物线的焦点到准线的距离；

(2)、设点 $P (t^{2}, 2 t)$ （ $t \neq 0$ ），
（ⅰ）用 $t$ 表示直线 $P Q$ 的方程；
（ⅱ）求 $|P Q|$ 的最小值．

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9、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $∠ B A C = ∠ A S C = ∠ S C B = 90 °$ ， $S A = S C = 1$ ， $A B = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为棱 $A B$ ， $S C$ 的中点．

(1)、求证： $M N ⊥ S C$ ；

(2)、求直线 $M N$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值．

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10、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，不过原点 $O$ 的平面 $α$ 分别交坐标轴于点 $A (a, 0, 0)$ ， $B (0, b, 0)$ ， $C (0, 0, c)$ ，点 $D$ 是 $O$ 在 $α$ 上的射影．求证：

(1)、 $D$ 是 $△ A B C$ 的垂心；

(2)、 $O D = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}}$ ．

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11、已知随机事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{4}$ ．

(1)、判断 $A$ 与 $B$ 是否相互独立，并说明理由；

(2)、求 $A$ 与 $B$ 都不发生的概率．

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12、已知 $A$ ， $B$ 分别为双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左右顶点，点 $P$ 为 $C$ 上一动点， $O$ 为坐标原点，则 $\frac{|P O|}{|P A| + |P B|}$ 的最小值是．

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13、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，经过 $B C_{1}$ 的平面 $α$ 将三棱柱分割成体积相等的两部分，设 $α$ 与棱 $A A_{1}$ 相交于点 $M$ ，则 $A M : M A_{1} =$ ．

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14、一圆台的上下底面半径分别为1，2，高为 $\sqrt{3}$ ，则圆台的侧面积是．

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15、切比雪夫多项式 $T_{n} (t)$ （ $t \in [- 1, 1]$ ）满足 $T_{n} (\cos x) = \cos n x$ ，其中 $n \in N^{*}$ ， $x \in R$ ．例如 $T_{1} (t) = t$ ， $T_{2} (t) = 2 t^{2} - 1$ ．关于 $T_{2025} (t)$ ，下列说法正确的有（）

A、 $T_{2025} (t)$ 的值域是 $[- 1, 1]$ B、 $T_{2025} (t)$ 为偶函数 C、 $T_{2025} (t)$ 有2025个零点 D、 $T_{2025} (\sin x) = \sin 2025 x$

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16、已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、 $3 x + 4 y$ 的最大值为5 B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2}$ 的最大值为36 C、 $\frac{y}{x - 2}$ 的最小值为 $- \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{x} - y$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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17、设函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的奇偶性 B、 $f (2 x) = 2 {[f (x)]}^{2} - 1$ C、 $g (2 x) = 2 f (x) g (x)$ D、 ${[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2} = 1$

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| \cdot |P B| = 1$ ，则 $P$ 的纵坐标的最大值为（）

A、 $\sqrt{5} - 2$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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19、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，则 $A C_{1} =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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20、设 $F_{1}$ 为椭圆 $E$ 的左焦点， $P$ 为 $E$ 上一动点，则线段 $P F_{1}$ 的中点的轨迹是（）

A、一个椭圆，其离心率与 $E$ 的离心率相同 B、一个椭圆，其离心率与 $E$ 的离心率不同 C、一个圆，其直径与 $E$ 的长半轴长相等 D、一个圆，其直径与 $E$ 的短半轴长相等

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