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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $F$ 是棱 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、求 $A C_{1}$ 与平面 $E F C_{1}$ 所成的角的正弦值.

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2、已知直线 $l$ 的方程为 $3 x + 4 y - 1 = 0$ .

(1)、若直线 $l_{1} ⊥ l$ ，且直线 $l_{1}$ 在 $x$ 轴上的截距为 $- 1$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2} ∥ l$ ，且直线 $l$ 与直线 $l_{2}$ 之间的距离为3，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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3、已知点 $P (m, n)$ 是曲线 $C : y = \sqrt{2 x - x^{2}} + 1$ 上的动点，则 $\frac{m + n + 1}{m + 1}$ 的取值范围为.

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4、已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ）的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{n^{2}} - \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1$ 的离心率为.

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, n, - 4)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m n =$ .

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ， $A$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，过原点 $O$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ ， $Q$ 不在坐标轴上），记直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则（）

A、 $b = \sqrt{3}$ B、 $k_{1} k_{2} = - \frac{4}{3}$ C、记直线 $P Q$ 的斜率为 $k$ ，可得 $k_{1} + k_{2} = 2 k$ D、记椭圆 $C$ 的右焦点为 $F$ ，可得 $△ P Q F$ 的周长的取值范围为 $(4 + 2 \sqrt{3}, 8)$

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则（）

A、若直线 $l$ 是平面 $P A D$ 和平面 $P B C$ 的交线，则 $B C / / l$ B、直线 $A C$ 与 $B P$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ D、点 $D$ 到平面 $P A B$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

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8、已知直线 $l : 2 x + 2 y + 3 = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ B、原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、直线 $l$ 不经过第一象限 D、直线 $l$ 的一个方向向量的坐标为 $(1, 1)$

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9、如图，在四棱锥 $D - O A B C$ 中，底面 $O A B C$ 是平行四边形， $∠ A O C = ∠ A O D = ∠ C O D = \frac{π}{3}$ ， $O A = O C = O D = 1$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $F$ 是 $C D$ 的中点，过 $O$ ， $E$ ， $F$ 三点的平面与 $B D$ 相交于点 $G$ ，则 $O G =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{3}$

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1 (m > 0)$ 的虚半轴长为 $\sqrt{5}$ ， $F$ 为双曲线 $C$ 的左焦点，点 $P$ 为双曲线C的右支上的动点，点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 3)$ ，则 $|P F| + |P A|$ 的最小值为（）

A、8 B、9 C、 $\frac{19}{2}$ D、10

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11、已知点 $P_{0} (2, - 1, 1)$ 在平面 $α$ 内，向量 $\vec{n} = (1, 1, - 2)$ 为平面 $α$ 的一个法向量，则下列各点不在平面 $α$ 内的是（）

A、 $(1, 0, 1)$ B、 $(0, 1, 1)$ C、 $(- 1, 2, 2)$ D、 $(1, - 2, 0)$

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12、“曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1$ 表示椭圆”是“ $0 < m < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、点 $P$ 为直线 $l_{1} : x - y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : 2 x + y - 4 = 0$ 的交点， $O$ 为坐标原点，则直线 $O P$ 的方程为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = 2 x$ C、 $y = - \frac{1}{2} x$ D、 $y = - 2 x$

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14、已知 $A (- 1, 3)$ ， $B (3, - 5)$ ，则以线段 $A B$ 为直径的圆的方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 20$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 10$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$

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15、在空间直角坐标系中，点 $P (4, - 2, 1)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 4, 2, - 1)$ B、 $(- 4, - 2, 1)$ C、 $(4, 2, - 1)$ D、 $(4, - 2, - 1)$

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16、椭圆 $\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{15}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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17、在同一平面直角坐标系内，函数 $y = f (x)$ 及其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 $(0, 1)$ ，则（）

A、函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 的最大值为1 B、函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 的最小值为1 C、函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的最大值为1 D、函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的最小值为1

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18、俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设 $f (x)$ 是定义在 $[m, n]$ 上的连续函数，称 $E = max_{m \leq x \leq n} |f (x) - (a x + b)|$ 为 $f (x)$ 与直线 $g (x) = a x + b$ 的偏差.若存在 $x_{0} \in [m, n]$ 使得 $|f (x_{0}) - g (x_{0})| = E$ ，则称 $x_{0}$ 为直线 $g (x)$ 的偏差点.记 $A = \{g (x) = a x + b ∣ a, b \in R\}$ ，若存在 $g_{0} (x) \in A$ 使得 $max_{m \leq x \leq n} |f (x) - g_{0} (x)| = min_{a, b \in R} max_{m \leq x \leq n} |f (x) - g (x)|$ 则称 $g_{0} (x)$ 为 $f (x)$ 在切比雪夫意义下的最佳逼近直线.

(1)、函数 $f (x) = x^{2}$ ， $x \in [- 1, 2]$ ， $g (x) = x + 1$ ，求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的偏差以及偏差点；

(2)、函数 $f (x) = 3 x + \frac{4}{x}$ ， $x \in [1, 4]$ ， $g (x) = 2 x + b$ ，求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的偏差的最小值，并求出取得最小值时 $b$ 的值；

(3)、证明：直线 $g (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}$ 是函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 在 $x \in [0, 4]$ 上的最佳逼近直线.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ ，若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，且当 $x \neq 0$ 时 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值，并写出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若对任意的 $x \in [\frac{1}{3}, \frac{3}{4}]$ 都有 $f (x) + f (3 x - m) \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可近似地表示为 $y = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5040 x, x \in [120, 144) \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000, x \in [144, 500] \end{array}$ ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿.

(1)、当 $x \in [200, 300]$ 时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

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