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相关试卷

1、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ ，焦点为 $F$ ，过 $P (4, 4)$ 作两条关于直线 $x = 4$ 对称的直线分别交 $Γ$ 于 $A, B$ 两点．

(1)、判断直线 $A B$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

(2)、若 $C (x_{1}, y_{1}), D (x_{2}, y_{2}), E (x_{3}, y_{3})$ 三点在抛物线 $Γ$ 上，且满足 $\vec{F C} + \vec{F D} + \vec{F E} = 0$ ，证明 $△ C D E$ 三个顶点的横坐标均小于2．

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2、在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, B C = 2 A B = 2 A D = 4, A B ⊥ B C$ ，点 $E$ 为 $A D$ 中点，沿 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使 $B E ⊥ C D$ ，

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求二面角 $E - B C - D$ 的余弦值，

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3、设 $\vec{O A} = (1, 0), \vec{O B} = (0, 2)$ ，对满足条件 $|\vec{O C} - \vec{O A} - \vec{O B}| = 2 |\vec{O A} - \vec{O B}|$ 的点 $C (x, y), |x - 2 y + m| + |x - 2 y - 7|$ 的值与 $x, y$ 无关，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 7)$ B、 $[13, + \infty)$ C、 $(13, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 7) \cup [13, + \infty)$

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F, G, H$ 分别为 $B B_{1}, C C_{1}, A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $E, F, G, H$ 四点共面 B、 $E F / / G H$ C、 $E G, F H, A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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5、在① $\sqrt{3} a - b \sin C = \sqrt{3} c \cos B$ ， ② $\cos^{2} \frac{B}{2} = \frac{2 a - b + 2 c}{4 c}$ ， ③ $\sin^{2} A - \cos^{2} B + \cos^{2} C = \sin A \sin B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.
在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 1$ ， $△ A B C$ 的面积 $S \in (0, \frac{\sqrt{3}}{12})$ ，求 $△ A B C$ 的周长l的取值范围；

(3)、若 $\sqrt{2} c = \sqrt{3} b$ ， $\vec{C A} = \sqrt{3} \vec{C D}$ ，求 $\tan ∠ A B D$ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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6、单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{2}{3}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值：

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $k$ 的取值范围.

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7、在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 中， $\vec{D E} = 2 \vec{E C} ， M$ 是 $B C$ 中点，则 $\vec{M E} \cdot \vec{B D} =$ ；若点 $P$ 在线段 $B D$ 上运动，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P M}$ 的最小值是.

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8、已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $\vec{b} = (3, 0)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是.

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9、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(2, 1)$ ，则 $i \cdot z =$ ．

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10、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 $∠ C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ .则下列结论正确的是（）

A、 $b \cos A + a \cos B = 2$ B、 $\frac{b + 2 c}{\sin B + 2 \sin C} = \frac{2 b + c}{2 \sin B + \sin C} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围为 $(0, 4 \sqrt{3})$ D、若 $(\frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|} + \frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}|}) \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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11、下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = - 3 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平行向量 B、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $⟨\vec{A B}, \vec{B C}⟩ = \frac{2π}{3}$ C、模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 D、已知平面内的一组基底 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 也能作为一组基底

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12、若 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A、若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则此三角形为等腰三角形 C、若 $a > b$ ，则 $\sin A$ 与 $\sin B$ 大小无法确定 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $\sin A + \sin B > \cos A + \cos B$

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13、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 上一点，且 $\vec{C P} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ ， $Q$ 是 $B C$ 中点， $A Q$ 与 $C P$ 交点为 $M$ ，又 $\vec{C M} = t \vec{C P}$ ，则 $t =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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14、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $A C = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\sqrt{13}$ C、13 D、 $\frac{\sqrt{87}}{4}$

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15、如图，向量 $\overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{a}$ 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若 $\overset{⇀}{a} = λ \overset{⇀}{e_{1}} + μ \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $λ + μ =$

A、 $- 1$ B、3 C、1 D、 $- 3$

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16、复数 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ 的三角形式是（）

A、 $cos 60^{\circ} + isin 60^{\circ}$ B、 $- cos 60^{\circ} + isin 60^{\circ}$ C、 $cos 120^{\circ} + isin 60^{\circ}$ D、 $cos 120^{\circ} + isin 120^{\circ}$

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17、北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线 $A$ 和路线 $B$ .公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线 $A$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；前一天选择路线 $B$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ .已知居民第一天选择路线 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择路线 $B$ 的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线 $A$ 散步的人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及期望；

(2)、若某居民每天都去公园散步，记第 $n$ 天选择路线 $A$ 的概率为 $P_{n}$ .
（i）请写出 $P_{n + 1}$ 与 $P_{n} (n \in N^{*})$ 的递推关系；
（ii）设 $M_{n} = \frac{16}{|15 P_{n} - 9|} - 4$ ，求证： $\frac{n}{4} - 1 < \frac{M_{1}}{M_{2}} + \frac{M_{2}}{M_{3}} + \dots + \frac{M_{n}}{M_{n + 1}} < \frac{n}{4} (n \in N^{*})$ .

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18、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{3}, \sqrt{6})$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、已知点 $A (1, 0)$ ，过点 $Q (1, 2)$ 作动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同的两点 $B, C$ ，在线段 $B C$ 上取异于点 $B, C$ 的点 $H$ .
（i）当 $H$ 为 $B C$ 中点时， $△ A Q H$ 的面积为7，求直线 $l$ 的斜率；
（ii）直线 $A B, A H, A C$ 分别与 $y$ 轴交于点 $D, E, F$ ，若 $E$ 为 $D F$ 中点，证明：点 $H$ 恒在一条定直线上.

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19、已知函数 $f (x) = (a - 1) ln x + x + \frac{a}{x}, a \in R$ ，若 $f (x)$ 只有唯一的极值且为极小值3.

(1)、求 $a$ ；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x - \frac{2}{x}, x \in (0, e)$ ，若不等式 $\frac{m}{x^{2} (1 - g (x))} - 2 e^{n - 1} \geq 0, m \neq 0, n > 0$ 恒成立，求 $\frac{n}{m}$ 的最大值.

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 \sqrt{3} cos \frac{A}{2} cos \frac{B + C}{2} = 1 + 2 {cos}^{2} \frac{A}{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $sin C (1 + cos B) = sin B (2 - cos C)$ ，求 $\frac{c}{b}$ 的值.

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