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相关试卷

1、台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费 $x_{i}$ （单位：百万元）和年销售量 $y_{i}$ （单位：百万辆）关系如图所示：令 $v_{i} = \ln x_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 5)$ ，数据经过初步处理得：

$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y}) (v_{i} - \bar{v})$
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
现有① $y = b x + a$ 和② $y = n \ln x + m$ 两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.

(1)、请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?

(2)、根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?

(3)、该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量 $ξ$ 影响，设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (600, σ^{2})$ ，且满足 $P (ξ > 800) = 0.3$ .在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，
回归直线 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
②参考数据： $\sqrt{40.3 \times 1.612} = 8.06$ ， $\sqrt{403} \approx 20.1$ ， $\ln 5 \approx 1.6$ ， $\ln 6 \approx 1.8$ .

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ .

(1)、求 $a_{2024}$ （只需写出数值，不需要证明）；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项可以表示成 $a_{n} = \frac{1}{2} - \sqrt{3} \sin (ω n + φ) (0 < ω < 3, φ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}])$ 的形式，求 $ω$ ， $φ$ .

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3、已知关于x的不等式 $\ln x + 1 \leq a \sqrt{x} e^{\frac{a x - 1}{2}}$ 恒成立，则实数a的取值范围是.

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4、某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为.

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5、 ${(x + 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（用数字作答）.

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6、已知 $f (x)$ 是定义域为 $\{x |x \neq 0\}$ 的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有 $f (x) f (y) = f (x y) + f (\frac{x}{y})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (1) = 2$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[2, + \infty)$ C、 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ D、 $f (x)$ 是奇函数

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为平面 $A B C D$ 内一动点，且直线 $D_{1} P$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ， E为正方形 $A_{1} A D D_{1}$ 的中心，则下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹为抛物线 B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球被平面 $A_{1} B C_{1}$ 所截得的截面面积为 $\frac{π}{6}$ C、直线 $C P$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、点 $M$ 为直线 $D_{1} B$ 上一动点，则 $M P + M E$ 的最小值为 $\sqrt{\frac{11 - 2 \sqrt{6}}{6}}$

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8、某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（）

A、成绩的第60百分位数为122 B、成绩的极差为36 C、成绩的平均数为125 D、若增加一个成绩125，则成绩的方差变小

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9、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $M, N$ 分别在双曲线 $C$ 的左、右两支上，且满足 $∠ M F_{2} N = \frac{π}{3}$ ， $\vec{N F_{2}} = 2 \vec{M F_{1}}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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10、房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为 $24 cm \times 11 cm \times 5 cm$ ，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到 $12 cm \times 11 cm \times 5 cm$ ， $24 cm \times \frac{11}{2} cm \times 5 cm$ ， $24 cm \times 11 cm \times \frac{5}{2} cm$ 三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm³的不同规格长方体的个数为（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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11、已知x，y为正实数，则可成为“ $x < y$ ”的充要条件的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $x + \ln y < y + \ln x$ C、 $\sin x < \sin y$ D、 $x - \cos y < y - \cos x$

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12、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ，且 $- 3 a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为（）

A、 $\frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ B、 $\frac{3^{n} - 3}{2}$ C、 $\frac{3^{n + 1} + 3}{4}$ D、 $\frac{3^{n + 1} - 1}{4}$

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13、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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14、在复平面内，复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位），则（）

A、 $z$ 的实部为2 B、 $|z| = \sqrt{5}$ C、 $\bar{z} = 2 - i$ D、 $z$ 对应的点位于第一象限

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15、已知集合 $A = \{x |x - 1 \geq 0\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $[1, 3)$

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16、在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2, ∠ B A D = 60^{\circ}$ ，以 $A B$ 为轴将菱形 $A B C D$ 翻折到菱形 $A B C_{1} D_{1}$ ，使得平面 $A B C_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 为边 $B C_{1}$ 的中点，连接 $C E, D D_{1}$ .

(1)、求证： $C E$ $∥$ 平面 $A D D_{1}$ ；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $B D D_{1}$ 所成角的正弦值.

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 为 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P, Q, R$ 在椭圆 $C$ 上， $P Q ⊥ x$ 轴.点 $M, N$ 满足 $\vec{R M} = \vec{M P}, \vec{P N} = 2 \vec{N Q}$ .若直线 $M Q$ 与 $N R$ 的交点在 $x$ 轴上，则 $d (R, Q)$ 的最大值为.

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18、已知集合 $P = \{(x, y) | x^{4} + a x - 2024 = 0$ 且 $x y = 2024\}$ ，若 $P$ 中的点均在直线 $y = 2024 x$ 的同一侧，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 2023) \cup (2023, + \infty)$ B、 $(2023, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2024) \cup (2024, + \infty)$ D、 $(2024, + \infty)$

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = λ n^{2} - n$ ，对任意 $n \in \{1, 2, 3\}$ 都有 $a_{n} > a_{n + 1}$ ，且对任意 $n \in \{n |n \geq 7, n \in N\}$ 都有 $a_{n} < a_{n + 1}$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{14}, \frac{1}{8}]$ B、 $(\frac{1}{14}, \frac{1}{7})$ C、 $(\frac{1}{15}, \frac{1}{7})$ D、 $(\frac{1}{15}, \frac{1}{8}]$

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20、海宁一中高一生劳课上，朱老师组织学生在寝室楼下的荒地上种菜.如图，在一条直路边上有相距 $10 \sqrt{3}$ 米的A、B两定点，路的一侧是荒地，朱老师用三块长度均为10米的篱笆（不能弯折），将荒地围成一块四边形地块 $A B C D$ （直路不需要围），经开垦后计划在三角形地块 $A B D$ 和三角形地块 $B C D$ 分别种植青菜、萝卜两种作物.已知两种作物的收益都与各自地块的面积的平方成正比，且比例系数均为 $k$ ，即收益 $W = k (S_{△ A B D}^{2} + S_{△ B C D}^{2})$ ，设 $∠ D A B = α$ .

(1)、当 $α = 60 °$ 时，若要用一块篱笆将上述两三角形地块隔开，朱老师准备了15米的篱笆. 请问是否够用，并说明理由.

(2)、求使两块地的总收益最大时，角 $α$ 的余弦值.

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$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y}) (v_{i} - \bar{v})$
44	4.8	10	40.3	1.612	19.5	8.06