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相关试卷

1、设函数 $f (x) = a^{x} - a l n x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[e, + \infty)$ B、 $[e^{2}, + \infty)$ C、 $[2 e, + \infty)$ D、 $[e^{e}, + \infty)$

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2、函数 $f (x) = l n (e^{x} + 1) - \frac{x}{2}$ （）

A、是偶函数，且在区间 $(0, + ∞)$ 上单调递增 B、是偶函数，且在区间 $(0, + ∞)$ 上单调递㺂 C、是奇函数，且在区间 $(0, + ∞)$ 上单调递增 D、既不是奇函数，也不是偶函数

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3、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} + a l n x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $x \in [1, + ∞)$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

(2)、若 $a < - 2$ ，证明： $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ），且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 成等比数列.

(3)、证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k (k + 1)}} > l n (n + 1)$ （ $n ∈ N^{∗}$ ）.

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4、已知 $f (x) = \frac{a e^{x} + e^{x}}{2}$ ， $g (x) = a (x - 2) e^{2 x} - (x + 2)$ ， $a \neq 0$ 则（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 为奇函数 B、当 $a = 1$ 时，存在直线 $y = t$ 与 $y = f (x)$ 有6个交点 C、当 $a \in [- \frac{1}{e^{2}}, 0)$ 时， $g (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上单调递减 D、当 $a < - 1$ 时， $g (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上有且仅有一个零点

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5、若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $\frac{x_{1} l n x_{2} - x_{2} l n x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e}, e)$ B、 $[\frac{1}{e}, e]$ C、 $[\frac{1}{e}, + ∞)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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6、已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a^{2}) - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 4 l n a + 2$ ．

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7、已知函数 $f (x) = 2 l n x + a (x^{2} - 3 x + 2)$ ， $a \in R$ .当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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8、已知函数 $f (x) = x (l n x - a x) (a \in R)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $0 < a < \frac{1}{2}$ B、 $1 < x_{2} < \frac{1}{2 a}$ C、 $x_{2} - x_{1} > \frac{1}{2 a} - 1$ D、 $f (x_{1}) < 0$ ， $f (x_{2}) > - \frac{1}{2}$

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9、已知定义在D的上函数 $f (x)$ 满足下列条件：①函数 $f (x)$ 为偶函数，②存在 $x_{0} > 0$ ， $f (x)$ 在 $[x_{0}, + \infty)$ 上为单调函数. 则函数 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = \frac{l n (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{x^{2}}$ B、 $f (x) = s i n (2 π x) (2^{x} - 2^{- x})$ C、 $f (x) = l o g_{a} | x^{3} - a x | (0 < a < 1)$ D、 $f (x) = x^{2} + l n (e - x) l n (e + x)$

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - a l n x$ 有两个大于1的零点，则 $a$ 的取值范围可以是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(1, e^{\frac{1}{e}}]$ C、 $(e^{\frac{1}{e}}, e]$ D、 $[e^{e + 1}, e^{2 e})$

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11、已知函数 $f (x) = x l n x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意 $[\frac{1}{e}, e]$ ，都有 $f (x) \leq a x - 1$ ，求实数a的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = a x^{2} - {(l n x)}^{2} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．
①求实数 $a$ 的取值范围；
②求证： $x_{1} x_{2} > e$ ．

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13、函数 $f (x) = 1 - 2 x - | l n x |$ 的最大值为.

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14、已知 $f (x) = e^{s i n 2 x + 2 c o s x}$ ，（参考数据 $l n 13.4 \approx 2.6$ ），则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期为 $π$ 的周期函数 B、 $f (x)$ 在 $(- π, 0)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(- 2 π, 2 π)$ 内共有4个极值点 D、设 $g (x) = f (x) - x$ ，则 $g (x)$ 在 $(- \infty, \frac{29 π}{6})$ 上共有5个零点

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15、函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + c o s x$ 在 $[- π, π]$ 上的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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16、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{4}, g (x) = s i n x$ ，则图象为如图的函数可能是（）

A、 $y = f (x) + g (x) - \frac{1}{4}$ B、 $y = f (x) - g (x) - \frac{1}{4}$ C、 $y = f (x) g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$

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17、已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则a的最小值为（）．

A、 $e^{2}$ B、e C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 2}$

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18、设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系 $f$ ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 $f$ ： $A \to B$ 为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作 $\bar{\bar{A}} = \bar{\bar{B}}$ .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作 $\bar{\bar{A}} \neq \bar{\bar{B}}$ .
例如：对于集合 $A = N^{*}$ ， $B = \{2 n |n \in N^{*}\}$ ，存在一一对应关系 $y = 2 x (x \in A, y \in B)$ ，因此 $\bar{\bar{A}} = \bar{\bar{B}}$ .

(1)、已知集合 $C = \{(x, y) |x^{2} + y^{2} = 1\}$ ， $D = \{(x, y) | \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1\}$ ，试判断 $\bar{\bar{C}} = \bar{\bar{D}}$ 是否成立?请说明理由；

(2)、证明：① $\bar{\bar{(0, 1)}} = \bar{\bar{(- \infty, + \infty)}}$ ；
② $\bar{\bar{N^{*}}} \neq \bar{\bar{\{x |x \subseteq N^{*}\}}}$ .

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19、已知椭圆 $C$ ： $9 x^{2} + 8 y^{2} = 81$ ，直线 $l$ ： $x = - 1$ 交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点， $△ T M N$ 的内切圆为圆Q.

(1)、求椭圆 $C$ 的焦点坐标；

(2)、求圆Q的方程；

(3)、设点 $P (1, 3)$ ，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求 $△ P A B$ 的周长.

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20、如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 A_{1} B_{1}$ ， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 6$ ， $C D = 9$ ， $A D = 6$ ，且 $A A_{1} = B B_{1} = 4$ ， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 中点，

(1)、求证： $B Q ∥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若四棱锥 $Q - A B B_{1} A_{1}$ 的体积为 $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$ ，求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值.

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