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相关试卷

1、关于等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ ，下列四个选项中正确的有（）

A、等差数列 ${a_{n}}$ ，若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ B、等比数列 ${b_{n}}$ ，若 $a_{m} \cdot a_{n} = a_{p} \cdot a_{q}$ ，则 $m + n = p + q$ C、若 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 前n项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ ，仍为等差数列 D、若 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 前n项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ ，仍为等比数列

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2、已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{6} = 2$ ，且 $a_{7}, a_{5}, a_{9}$ 成等差数列，则 $a_{4} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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3、设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} - S_{3} = 35, a_{3} + a_{10} = 7$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、已知首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $n S_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + n S_{n} + 1$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n} + 1}{n}}$ 为等差数列；

(2)、若 $b_{n} = 3^{s i n (\frac{π}{2} a_{n})}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 2$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} - n^{2}}$ 是等差数列．

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，求数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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6、已知 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} = 2 - \frac{p}{a_{n + 1}}$ （ $n \in N$ 且 $n \geq 1$ ， $p$ 为常数）.

(1)、数列 ${a_{n}}$ 能否是等比数列？若是，求 $a_{1}$ 的值（用 $p$ 表示）；否则，说明理由；

(2)、已知 $a_{1} = p = 1$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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7、已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 和数列 ${b_{n}}$ ，满足 $l o g_{2} a_{n}$ 是 $b_{1}$ 和 $b_{n}$ 的等差中项， $(n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积 $T_{n}$ 满足 $T_{n} = (\sqrt{2})^{n^{2} + n}$ ，记 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数 \\ b_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前20项和.

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8、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, 2 a_{n} a_{n + 1} + a_{n + 1} - a_{n} = 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 通项公式．

(2)、设 $b_{n} = \frac{c o s (n + 1) π}{a_{n}} + 2$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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9、已知数列 ${a_{n}}, a_{1} = 13, a_{n + 1} = a_{n} - 4$ ．求：

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最大值．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = 5$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2} (n \in N^{*})$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ .

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11、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ （ $n$ 为正整数），且 $a_{2}$ 与 $a_{4}$ 的等差中项是5，则首项 $a_{1} =$ .

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12、已知在公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = - 5, a_{5}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{6}$ 的等比中项，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，则（）

A、 $a_{n} = 2 n - 13$ B、 $\forall n \in N^{*}, b_{n} \geq - 1$ C、 $S_{n} = - \frac{1}{11} - \frac{1}{2 n - 11}$ D、 $\forall n \in N^{*}, S_{6} \leq S_{n} \leq S_{5}$

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13、已知 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边a ， b ， c成等差数列，且 $a c = 20$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ，则 $b =$ （）

A、5 B、 $2 \sqrt{6}$ C、4 D、3

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14、等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，公差不为0．若 $a_{2}, a_{4}, a_{5}$ 成等比数列，则公差为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、1 D、 $- 1$

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15、（图1是中国古代建筑中的举架结构， $A A^{^{'}}, B B^{^{'}}, C C^{^{'}}, D D^{^{'}}$ 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 $D D_{1}, C C_{1}, B B_{1}, A A_{1}$ 是举， $O D_{1}, D C_{1}, C B_{1}, B A_{1}$ 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 $\frac{D D_{1}}{O D_{1}} = 0.5, \frac{C C_{1}}{D C_{1}} = k_{1}, \frac{B B_{1}}{C B_{1}} = k_{2}, \frac{A A_{1}}{B A_{1}} = k_{3}$ ．已知 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 成公差为0.1的等差数列，且直线 $O A$ 的斜率为0.725，则 $k_{3} =$ （）

A、0.75 B、0.8 C、0.85 D、0.9

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16、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{5} = S_{10}$ ， $a_{5} = 1$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{7}{11}$

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17、已知b是 $a, c$ 的等差中项，直线 $a x + b y + c = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y - 1 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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18、给定数列 ${a_{n}}$ ，定义差分运算： $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}, Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n}, n \in N^{*}$ .若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = n^{2} + n$ ，数列 ${b_{n}}$ 的首项为1，且 $Δ b_{n} = (n + 2) \cdot 2^{n - 1}, n \in N^{*}$ ，则（）

A、存在 $M > 0$ ，使得 $Δ a_{n} < M$ 恒成立 B、存在 $M > 0$ ，使得 $Δ^{2} a_{n} < M$ 恒成立 C、对任意 $M > 0$ ，总存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $b_{n} > M$ D、对任意 $M > 0$ ，总存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $\frac{Δ^{2} b_{n}}{b_{n}} > M$

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19、已知 $a_{n} = \sqrt{\frac{a_{n + 1} + 1}{2}}, a_{n} \in [- 1, 1]$ 且 $a_{1} = c o s \frac{π}{9}$ ，则 $a_{1} a_{2} a_{3}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

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20、某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ， …．

(1)、写出一个递推公式，表示 $c_{n + 1}$ 与 $c_{n}$ 之间的关系；

(2)、求 $S_{10} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + ⋯ + c_{10}$ 的值．（其中 $1.0 8^{9} \approx 2.00$ ， $1.0 8^{10} \approx 2.16$ ， $1.0 8^{11} \approx 2.33$ ）

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