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相关试卷

1、小张参加某项专业能力考试.该考试有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答 $A$ ， $B$ ， $C$ 三类问题的概率分别为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ ，且每个问题的回答结果相互独立.

(1)、若小张按照 $A$ 在先， $B$ 次之， $C$ 最后的顺序回答问题，记 $X$ 为小张的累计答题数目，求 $X$ 的分布列；

(2)、小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由；

(3)、设 $0 < p_{3} < p_{2} < p_{1} < 1$ ，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - k x^{2} - x$ .

(1)、若 $k = \frac{1}{2}$ ，求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ；

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $k$ 的取值范围.

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3、三角形 $A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} - a^{2} - c^{2})$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、如图，若 $D$ 为 $△ A B C$ 外一点，在四边形 $A B C D$ 中，边长 $B C = 2$ ， $∠ D C B = ∠ B$ ， $∠ C A D = 30^{\circ}$ ，求 $C D$ 的最小值.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = 3 n^{2} - 2 n$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = a_{1}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} = 2^{n} (b_{n + 1} - b_{n})$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

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5、袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是.

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6、若 ${(x + a)}^{2} (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x + b)$ 的展开式中， $x^{5}$ 项的系数为 $- 8$ ，则 $a b$ 的最大值为.

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7、已知函数 $f (x) = ln (2 x + 1) - m x$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线的斜率为 $- 5$ ，则实数 $m$ 的值为.

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，集合 $M = {x_{0} \in R | x \in (- \infty, x_{0}), f (x) < f (x_{0})}$ ，在使得 $M = [- 1, 1]$ 的所有 $f (x)$ 中，下列成立的是（）

A、存在 $f (x)$ ，当 $m \neq n$ 时有 $f (m) = f (n)$ B、存在 $f (x)$ 是增函数 C、存在 $f (x)$ 是奇函数 D、存在 $f (x)$ ，使 $f (x)$ 恒大于0

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9、设函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 有且仅有 $5$ 个对称中心，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, 2 π)$ 有且仅有2个极大值点 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, 2 π)$ 有且仅有3个极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 单调递减 D、 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{25}{12}, \frac{31}{12}]$

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10、以下说法正确的是（）

A、两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程度越强 B、残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 4.881 > 3.841 = x_{0.05}$ ，则依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，可以认为“ $X$ 与 $Y$ 没有关联” D、若随机变量 $X \sim N (0, 1)$ ， $Y \sim N (2, 4)$ ，则 $P (X > 1) < P (Y < 1)$

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11、已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 4 a (a \neq 0)$ ，若 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $x$ 轴非负半轴为始边作角 $x$ 和角 $x - \frac{π}{3}$ ， $x \in [0, 2 π]$ ，它们的终边分别与单位圆交于点 $M$ ， $N$ ，设线段 $M N$ 的中点 $P$ 的纵坐标为 $y_{0}$ ，若 $y_{0} > \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则角 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ B、 $(\frac{π}{3}, π)$ C、 $(\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6})$ D、 $(\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} > 0$ ， $a_{1} a_{n} = p^{21 - n} (p > 1)$ ，若 $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，则 $T_{n}$ 的最大值为（）

A、 $p^{110}$ B、 $p^{56}$ C、 $p^{\frac{441}{8}}$ D、 $p^{55}$

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14、大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = \frac{1}{2} \log_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为 $2 m / s$ 时耗氧量的单位数为 $U$ ，游速为 $3 m / s$ 时耗氧量的单位数为 $W$ ，则 $\frac{W}{U} =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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15、已知 $α$ 为第一象限角， $β$ 为第四象限角， $tan α - tan β = 3$ ， $tan α tan β = - 2$ ，则 $sin (α - β) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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16、若 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $2 ^{x} - 2 ^{y} > 0$ ”是“ $ln (x - y) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{10}$ ，且满足 $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{10}$ ，若去掉 $x_{1}$ ， $x_{10}$ 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是（）

A、平均数 B、中位数 C、极差 D、方差

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18、若全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 \leq x < 3}, B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${x | x < 3}$ B、 ${x | 0 \leq x < 1}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | x \geq 0}$

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19、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ ．

(1)、求双曲线E的标准方程；

(2)、为了求二元二次方程 $x^{2} - 3 y^{2} = 1$ 的正整数解 $P_{n} (x_{n}, y_{n}) (x_{n}, y_{n}, n \in N^{*})$ ，可先找到初始解 $(x_{1}, y_{1})$ ，其中 $x_{1}$ 为所有解 $x_{n}$ 中的最小值，因为 $1 = (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 2^{2} - 3 \times 1^{2}$ ，可得 $P_{1} (2, 1)$ ；因为 $1 = {(2 + \sqrt{3})}^{2} {(2 - \sqrt{3})}^{2} = (7 + 4 \sqrt{3}) (7 - 4 \sqrt{3}) = 7^{2} - 3 \times 4^{2}$ ，可得 $P_{2} (7, 4)$ ；重复上述过程，因为 ${(2 + \sqrt{3})}^{n}$ 与 ${(2 - \sqrt{3})}^{n}$ 的展开式中，不含 $\sqrt{3}$ 的部分相等，含 $\sqrt{3}$ 的部分互为相反数，故可设 $1 = {(2 + \sqrt{3})}^{n} {(2 - \sqrt{3})}^{n} = (x_{n} + \sqrt{3} y_{n}) (x_{n} - \sqrt{3} y_{n}) = x_{n}^{2} - 3 y_{n}^{2}$ ，故得 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．若方程E的正整数解为 $Q_{n} (x_{n}, y_{n})$ ，且初始解为 $Q_{1} (9, 4)$ ．
（i）证明： $x_{n + 2} + x_{n} = 18 x_{n + 1}$ ；
（ii） $△ O Q_{n} Q_{n + 1}$ 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - \frac{1}{2} x^{2}$ ．

(1)、若 $f^{'} (x) \geq 0$ ，求实数a的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq - \frac{1}{2} x^{2} + x + b$ ，求 $(a + 1) b$ 的最大值．

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