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相关试卷

1、北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 $a b, (a = b + 1)$ 个小球，第二层有 $(a + 1) (b + 1)$ 个小球，第三层有 $(a + 2) (b + 2)$ 个小球.....依此类推，最底层有 $c d$ 个小球，共有 $n$ 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、已知向量 $\vec{a} = (2, x)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{a})$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、0 C、1 D、-2

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3、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 3 - 4 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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4、设集合 $M = \{x |0 \leq x < 4\}$ ，则 $N = \{x |\frac{1}{3} \leq x \leq 5\}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 $\{x |0 < x \leq \frac{1}{3}\}$ B、 $\{x |\frac{1}{3} \leq x < 4\}$ C、 $\{x |4 \leq x < 5\}$ D、 $\{x |0 < x \leq 5\}$

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5、法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，满足 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点 $O$ 为费马点；
②当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：
已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，点 $M$ 为 $△ A B C$ 的费马点，且 $cos 2 A + cos 2 B - cos 2 C = 1$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 4$ ，求 $|M A| \cdot |M B| + |M B| \cdot |M C| + |M C| \cdot |M A|$ 的最大值；

(3)、若 $|M A| + |M B| = t |M C|$ ，求实数 $t$ 的最小值.

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6、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右顶点 $Q$ 与 $C$ 的上，下顶点所围成的三角形面积为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、不过点 $Q$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $Q A$ 与 $Q B$ 的斜率之积恒为 $\frac{1}{4}$ ，证明直线 $l$ 过定点，并求出这个定点．

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7、如图， $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 为圆锥三条母线， $A B = A C$ .

(1)、证明： $P A ⊥ B C$ ；

(2)、若圆锥侧面积为 $\sqrt{3} π, B C$ 为底面直径， $B C = 2$ ，求平面 $P A B$ 和平面 $P A C$ 所成角的余弦值．

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8、设正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，且 $b_{n + 1} - b_{n} = 2^{n - 1} \cdot a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．

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9、已知函数 $f (x) = 3 {(\frac{x}{e^{x}})}^{2} + (a^{2} - 1) \frac{x}{e^{x}} + 1 - a^{2}$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ 则 ${(1 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{2} (1 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}}) (1 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}})$ 的值为.

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10、盒中有 $a$ 个红球， $b$ 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球 $c$ 个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是．

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11、已知矩形 $A B C D$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $B C = 2$ ，将 $Δ A D C$ 沿对角线 $A C$ 进行翻折，得到三棱锥 $D - A B C$ ，在翻折的过程中下列结论成立的是（）

A、三棱锥 $D - A B C$ 的体积最大值为 $\frac{10}{9}$ B、三棱锥 $D - A B C$ 的外接球体积不变 C、异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的最大值为 $90^{\circ}$ D、 $A D$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值最小值为 $\frac{2}{3}$

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12、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列四个命题中，正确的命题是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $(a^{2} + b^{2}) sin (A - B) = (a^{2} - b^{2}) sin (A + B)$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $D$ 在线段 $A B$ 上，且 $A D = 5 ， B D = 3 ， C B = 2 C D ， cos ∠ C D B = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为8 D、若 $B C = 2 \sqrt{3}$ ，动点 $D$ 在 $△ A B C$ 所在平面内且 $∠ B D C = \frac{2 π}{3}$ ，则动点 $D$ 的轨迹的长度为 $\frac{8 π}{3}$

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13、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，下列说法正确的是（）

A、若对 $\forall n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ，有 $2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 一定是等差数列 B、若对 $\forall n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 一定是等比数列 C、已知 $S_{n} = p n^{2} + q n (p, q \in R)$ ，则 $\{a_{n}\}$ 一定是等差数列 D、已知 $S_{n} = a^{n} - 1 (a \neq 0)$ ，则 $\{a_{n}\}$ 一定是等比数列

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14、将方程 $\sin x \cos x + \sqrt{3} \sin^{2} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的所有正数解从小到大组成数列 $\{x_{n}\}$ ，记 $a_{n} = \cos (x_{n + 1} - x_{n})$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot a_{2025}$ =（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$

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15、已知 $a = \frac{1}{\ln \sqrt{2}}$ ， $b = 2 \sqrt{e}$ ， $c = \frac{3 \sqrt[3]{e^{4}}}{4}$ （其中 $e$ 为自然常数），则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sin π x, 0 \leq x \leq 1 \\ \log_{2023} x, x > 1 \end{array}$ ，若实数a，b，c互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 2024)$ B、 $(2, 2024]$ C、 $(2, 2023)$ D、 $(2, 2023]$

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 、 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{2 a_{6}}{b_{2} + b_{10}}$ （）

A、 $\frac{111}{13}$ B、 $\frac{37}{13}$ C、 $\frac{111}{26}$ D、 $\frac{37}{26}$

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18、化简 $\sqrt{1 - 2 \sin (π + 1) \cos (π + 1)}$ 等于（）

A、 $\sin 1 - \cos 1$ B、 $\cos 1 - \sin 1$ C、 $\pm (\sin 1 - \cos 1)$ D、 $\sin 1 + \cos 1$

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19、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |2^{x} \geq 1\}, B = \{x |- 1 < x < 1\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ B、 $\{x |0 \leq x < 1\}$ C、 $\{x |x > - 1\}$ D、 $\{x |x \geq 0\}$

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20、如果函数 $y = f (x)$ ， $x \in D$ 满足：对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D (x_{1} \neq x_{2})$ ，均有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < {|x_{1} - x_{2}|}^{n}$ （ $n$ 为正整数）成立，则称函数 $y = f (x)$ 在 $D$ 上具有“ $n$ 级”性质.

(1)、判断 $f (x) = \frac{1}{2} x ^{2} + 1$ 在区间 $(0, 1)$ 上是否具有“1级”性质，并说明理由；

(2)、若 $g (x) = a (x - 1) e^{x} - x ln x - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 在区间 $[1, 2]$ 上具有“1级”性质，求 $a$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $y = h (x)$ 在定义域 $R$ 上具有“ $n$ 级”性质，求证：对任意 $s$ ， $t \in R$ ，当 $s < t$ 时，都有 $2024^{n - 1} |h (t) - h (s)| < {(t - s)}^{n}$ 成立.

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