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相关试卷

1、已知 $f (x) = a x - 1, g (x) = x^{2} + b x - 5 (a > 0, b \in R)$
（1）若 $a = 2$ 时， $f (x) = g (x)$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为.
（2）若 $x > 0$ 时， $f (x) \cdot g (x) \geq 0$ 恒成立，则 $b + \frac{3}{a}$ 的最小值为.

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2、如图，在四面体 $A - B C D$ 中， $A C = 2, B D = \sqrt{2}, A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ， $M, N$ 分别为 $A B, C D$ 的中点，则线段 $M N$ 的长为.

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3、 $A (1, 0, 2), B (1, - 3, 1)$ ，点 $M$ 在 $z$ 轴上且到 $A, B$ 两点的距离相等，则 $M$ 点的坐标为.

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4、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}, A B = A A_{1} = 2, P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in[0, 1])$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ + μ = \frac{1}{3}$ ，则四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $△ A_{1} B Q$ 的外心为 $O$ ，则 $\vec{A_{1} B} \cdot \vec{A_{1} O}$ 为定值2 C、若 $A_{1} Q = \sqrt{5}$ ，则点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{4}$ D、若 $λ = 1$ 且 $μ = \frac{1}{2}$ ，则存在点 $E \in A_{1} B$ ，使得 $A E + E Q$ 的最小值为 $\sqrt{9 + 2 \sqrt{10}}$

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5、如图，以等腰直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$ 上的高 $A D$ 为折痕，翻折 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ ，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C D$ .下列结论正确的是（）

A、 $B D ⊥ A C$ B、 $△ A B C$ 是等边三角形 C、三棱锥 $D - A B C$ 是正三棱锥 D、平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B C$

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6、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，其中 $A^{'} B^{'} = 2, A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'} = \sqrt{5}$ ，则在原平面图形 $A B C$ 中有（）

A、 $A C < B C$ B、 $A B = 2$ C、 $A C = 2 \sqrt{3}$ D、 $S_{△ A B C} = 4 \sqrt{2}$

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 边长为1，点 $E, O$ 分别在线段 $B_{1} D_{1}$ 和 $B D$ 上， $E B_{1} = \frac{4}{5} B_{1} D_{1}, D O = B O$ ，动点 $F$ 在线段 $A A_{1}$ 上，且满足 $A F = λ A A_{1} (0 < λ < \frac{1}{2})$ ，分别记二面角 $F - O B_{1} - E, F - O E - B_{1}$ ， $F - E B_{1} - O$ 的平面角为 $α, β, γ$ ，则总有（）

A、 $α > β > γ$ B、 $γ > β > α$ C、 $γ > α > β$ D、 $β > α > γ$

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8、北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 $\frac{π}{3}$ ，所以正四面体在各顶点的曲率为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ ，故其总曲率为 $4 π$ ，则四棱锥的总曲率为（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是线段 $B B_{1}$ 上靠近 $B_{1}$ 的三等分点，点 $F$ 是线段 $D_{1} C_{1}$ 上靠近 $D_{1}$ 的三等分点，则平面AEF截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形成的截面图形为（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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10、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ，若二面角 $C - A B - C_{1}$ 的大小为 $60^{°}$ ，则点C到平面 $C_{1} A B$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、如图，一个正四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点都在球面上，且底面 $A B C D$ 经过球心 $O$ .若 $V_{P - A B C D} = \frac{128}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积是

A、 $\frac{81 π}{4}$ B、 $36 π$ C、 $64 π$ D、 $\frac{27 π}{4}$

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12、如图，已知平面 $α$ ， $β$ ，且 $α \cap β = l$ .设梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，且AB $\subset$ $α$ ， CD $\subset$ $β$ .则下列结论一定正确的是( )

A、 $A B = C D$ B、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 可能为异面直线 C、直线 $A C$ 与直线 $B D$ 可能为异面直线 D、直线 $A B$ 、 $C D$ 、 $l$ 相交于一点

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13、如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱） $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B C$ 延长线上一点， $\overset{⃑}{B C} = 3 \overset{⃑}{C E}$ ，则 $\overset{⃑}{D_{1} E}$ =（）

A、 $\overset{⃑}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A D} - \overset{⃑}{A A_{1}}$ B、 $\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A D} - \frac{2}{3} \overset{⃑}{A A_{1}}$ C、 $\overset{⃑}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{A A_{1}}$ D、 $\overset{⃑}{A B} - \overset{⃑}{A D} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A A_{1}}$

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14、 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知： $a \cdot \sin A + a \cdot \sin C \cos B + b \cdot \sin C \cos A = b \cdot \sin B + c \cdot \sin A$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 周长的取值范围；

(3)、若 $b^{2} = \frac{3}{2} a c (a > c)$ ，且外接圆半径为2，圆心为 $O$ ， $P$ 为圆上一个动点，试求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围.

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15、 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知： $\cos^{2} (\frac{π}{2} + A) + \cos A = \frac{5}{4}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $A B = 3, A C$ 边上的中线BD长为 $\sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 面积；

(3)、 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 内切圆半径的取值范围.

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16、如图所示，点 $G$ 是 $△ A B C$ 重心. $\vec{A M} = x \vec{A B}, \vec{A N} = y \vec{A C} (x, y \in R)$ .

(1)、用 $\vec{A M}, \vec{A N}$ 表示 $\vec{A G}$ (系数中的字母只含x，y)；

(2)、求 $2 x + y$ 最小值.

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17、锐角 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ .已知 $2 b \sin A - a = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $\sin A + \cos C$ 的取值范围.

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18、（1）计算 $i^{2021} + {(\sqrt{2} - \sqrt{2} i)}^{8} + {(\frac{\sqrt{3} - i}{- 1 - \sqrt{3} i})}^{2} + {(\frac{- 1 - \sqrt{3} i}{- 1 + \sqrt{3} i})}^{6}$ ；
（2）已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + x i + m \cdot (2 - 3 i) = 0$ 有实数解，求纯虚数 $m$ .

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19、 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别是a、b、c，若 $c \cdot \cos B$ $\cos A + b \cdot \cos A \cos C = b \cdot \cos B$ ，则 $△ A B C$ 的形状是.

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20、函数 $y = \sin (\frac{π}{2} x - \frac{π}{4})$ 的部分图像如图所示，则 $\vec{O B} \cdot \vec{O C} =$ .

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