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相关试卷

1、将函数 $y = 3 \cos (x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到曲线 $C$ . 若曲线 $C$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $φ$ 的值为.

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2、用列举法表示集合 ${\frac{6}{9 - x} \in N | x \in N}$ 的结果为.

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3、若 $a$ ， $b$ 为函数 $f (x) = \sin (x + m) + x^{2} - 1$ 的两个不同零点，令 $h (m) = |a - b|$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $π$ 是函数 $h (m)$ 的一个周期 B、 $(0 ， \frac{π}{2})$ 是函数 $h (m)$ 的一个单调递减区间 C、函数 $h (m)$ 的图象是轴对称图形 D、函数 $h (m)$ 的图象是中心对称图形

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1 - m \cdot e^{x}}{m + e^{x}}$ 是定义域上的奇函数，则下列选项中错误的是（）

A、 $m = 1$ B、 $|f (x)| = 1$ 有解 C、 $f (2) + f (- 1) < 0$ D、 $y = f (2 + x)$ 与 $y = f (4 - x)$ 的图象关于 $x = 3$ 对称

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5、若 $|x + 2| + |a - x|$ 的最小值是1，则实数 $a$ 的值可以为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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6、已知 $x = \log_{0.5} x$ ， $x^{y} = \log_{0.5} y$ ， ${0.5}^{z} = \log_{x} z$ ，则（）

A、 $z < x < y$ B、 $y < z < x$ C、 $x < y < z$ D、 $y < x < z$

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7、如图所示，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，点 $E$ 是 $B C$ 上一点， $C E = 2 B E = 4, ∠ A E D = \frac{π}{3}$ ， $△ A D E$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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8、我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等. 已知函数 $h (x) = tan (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 图象中的两条相邻“平行曲线”与直线 $y = 2024$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $|A B| = 3$ ，则 $f (\frac{3}{4}) =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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9、函数 $f : {\sqrt{2}, l n 2, c o s 2} \to {\sqrt{2}, l n 2, c o s 2}$ ， $g : {\sqrt{2}, l n 2, c o s 2} \to {\sqrt{2}, l n 2, c o s 2}$ ，如图所示，则 ${x ∣ f [g (x)] < g [f (x)]} =$ （）

A、 ${l n 2}$ B、 ${\sqrt{2}}$ C、 ${c o s 2}$ D、 $⌀$

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10、 $\frac{{cos}^{2} 25 ° - {sin}^{2} 25 °}{\sin 110 ° \cdot \cos 70 °} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \log_{4} x, 0 < x < 1 \\ 2^{x}, x \geq 1 \end{cases}$ ，则 $f (\frac{1}{4}) + f (\log_{2} 3) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、已知集合 $P = {x ∣ x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ，集合 $Q = {x ∣ x^{3} > - 1}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- 1, 3)$

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13、给定数列 $\{a_{n}\}$ ，若满足 $a_{1} = a (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，对于任意的 $n, m \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + m} = a_{n} \cdot a_{m}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“指数型数列".

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} = 2 a_{n} a_{n + 1} + 3 a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，判断数列 $\{\frac{1}{a_{n}} + 1\}$ 是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是“指数型数列”，且 $a_{1} = \frac{a + 2}{a + 3} (a \in N^{*})$ ，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 中任意三项都不能构成等差数列.

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14、一动圆圆 $C$ 与圆 $O_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 外切，同时与圆 $O_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{49}{4}$ 内切.设动圆圆心 $C$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、若曲线 $E$ 与 $x$ 轴的左、右交点分别为A、B，过点 $T (1, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于P、Q两点，直线AP、BQ相交于点 $D$ ，当点 $D$ 的纵坐标为 $3 \sqrt{3}$ 时，若 $\vec{Q M} = λ \vec{M P}$ ，求 $| \vec{D M} |$ 的最小值.

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15、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为菱形，且 $∠ D A B = 60^{°}, E, O$ 分别是上，下底面的中心， $F$ 是AB的中点， $A B = k A A_{1}$ .

(1)、当 $k = 2$ 时，求直线 $A_{1} F$ 与直线EC所成角的余弦值；

(2)、是否存在实数k，使得 $O$ 在平面EBC内的射影 $O_{1}$ 恰好为 $△ E B C$ 的重心.若存在，求出点 $O_{1}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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16、一个袋子中放有10个大小相同的小球，其中有5个红球，5个白球.现从中抽取两次，一次抽取两个球.若第一次抽出后不放回.

(1)、求第一次抽到两个红球的条件下，第二次抽到两个白球的概率；

(2)、若一次抽出的两个球同色即中奖，求中奖次数X的概率分布和数学期望.

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17、已知函数 $f (x) = a x \ln x + \frac{1}{2 x}, a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时.求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若方程 $f (x) = x^{3} + \frac{1}{2 x}$ 存两个不等的实数根，求 $a$ 的取值范围.

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18、已知长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的面积为 $π a b (a > b > 0)$ ，现要切割加工一个底面半径为 $2 \sqrt{3}$ 、高为 $3$ 的圆柱形零件(如图所示)，截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为 $30^{\circ}$ ，然后在切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为 .

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19、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0, x \in R\}$ ，集合 $B = \{x | \log_{a} x > 1, a > 0,$ 且 $a \neq 1\}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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20、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = g (x) - g (- x) + 3 = f (3 - x)$ ，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (1, 2]$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，则下列命题是真命题的有（）

A、 $(2025, 3)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $f (x)$ 在区间 $(2024, 2026)$ 上单调递减 C、对 $\forall x \in (\frac{4051}{2}, \frac{4053}{2})$ ，恒有 $f (x) > f (x + 1)$ D、 $\sum_{n = 1}^{2026} f (n) > 6078$

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