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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i ， z_{2} = 3 - 4 i$ 对应的向量分别为 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O B}$ ，其中 $O$ 为复平面的原点.

(1)、若复数 $z_{1} + λ z_{2}$ 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 $λ$ 的取值范围；

(2)、求 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量.

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2、如图，圆柱形开口容器 $（$ 下表面密封 $）$ ，其轴截面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形.现有一只蚂蚁从外壁 $A$ 处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到 $B C$ 中点 $P$ 处，则它所需经过的最短路程为.

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3、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知a＝2，2sinB+2sinC＝3sinA.则cosA的最小值为.

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4、复数 $z = a + b i ， a ， b \in R$ ，且 $b \neq 0$ ，若 $z^{2} - 4 b z$ 是实数，则有序实数对 $(a ， b)$ 可以是．（写出一个有序实数对即可）

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5、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $\vec{D_{1} Q} = λ \vec{D_{1} A_{1}}, λ \in [0 ， 1], N$ 为线段 $A Q$ 的中点，则（）

A、 $C N$ 与 $Q M$ 共面 B、三棱锥 $A - D M N$ 的体积的最大值为 $1$ C、存在两个不同的 $λ \in [0 ， 1]$ ，使得 $A M ⊥ Q M$ D、 $λ = \frac{1}{2}$ 时，过 $A ， Q ， M$ 三点的平面截正方体所得截面的周长为 $2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2}$

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6、折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子如图 $1$ ，其平面图如图 $2$ 的扇形 $A O B$ ，其中 $∠ A O B = 120 ^{\circ} ， O A = 3 O C = 3$ ，点 $E$ 在弧 $C D$ 上.则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{C D} = - 2$ B、若 $\vec{O E} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则存在点 $E$ ，使得 $x + y = \frac{3}{2}$ C、 $\vec{E A} \cdot \vec{E B}$ 的最小值为 $- \frac{13}{2}$ D、若该扇面为某圆台的侧面展开图，则该圆台的体积为 $\frac{52 \sqrt{2}}{81} π$

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7、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积可能为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

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8、请你在桌面上放置四个半径都是2cm的玻璃小球，并用一个半球形的容器罩住这四个小球，则这个容器的内壁半径的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 4 c m$ B、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3} + 4 c m$ C、 $2 \sqrt{2} + 2 c m$ D、 $2 \sqrt{3} + 2 c m$

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9、已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 满足： $|\vec{a} |= 2| \vec{b}| = 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，若 $\vec{c} = \frac{u + 2}{6} \vec{a} + \frac{4 - u}{3} \vec{b} （ u \in R ）$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10、如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（　　）

A、91m B、74m C、64m D、52m

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11、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别为棱BC和棱 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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12、侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的直棱柱，其底面水平放置时用斜二测画法得到的直观图为如图所示的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中 $O^{'} A^{'} = 2$ ，则该直棱柱的侧面积为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $16 \sqrt{3}$ C、 $24 \sqrt{3}$ D、 $32 \sqrt{3}$

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13、在 $△ O M N$ 中， $\vec{O N} - \vec{M N} + \vec{M O} =$ （）

A、 $\vec{0}$ B、 $2 \vec{M O}$ C、 $2 \vec{O N}$ D、 $2 \vec{O M}$

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14、已知复数 $z = \frac{3 + i}{1 - 2 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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15、已知函数 $f (x) = \frac{m x^{2} + 4 x}{x^{2} + 1}$ ，函数 $g (x) = \frac{m}{2} x + 2$ .

(1)、若 $m = 0$ ，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $m \in (0, 4]$ ：
（ⅰ）解关于 $x$ 的不等式： $f (x) \leq g (x)$ ；
（ⅱ）设 $a, b \in R$ ，若实数 $t$ 满足 $f (a) \cdot f (b) = - t^{2}$ ，比较 $g (t - m) - g (1)$ 与 $\frac{1}{8}$ 的大小，并证明你的结论.

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16、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $s i n B (c c o s B + b c o s C) = \sqrt{3} a c o s B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $C = \frac{π}{2}$ ，且 $C$ 的角平分线交 $A B$ 于 $P$ ， $Q$ 为边 $A C$ 的中点， $C P$ 与 $B Q$ 交于点 $D$ . 求 $c o s ∠ P D Q$ ；

(3)、若 $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 内切圆半径 $r$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin ω x cos ω x + 2 sin ^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(π - α, α)$ 内既有最大值又有最小值，求 $α$ 的取值范围.

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18、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (- x) = 2 x + 3$ .

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、若函数 $g (x) = 3^{f (x)} + t \cdot f (3^{x}) - t$ ， $x \in [- 1, 1]$ ，是否存在实数 $t$ 使得 $g (x)$ 的最小值为 $- 3$ ？若存在，求出实数 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19、已知不等式 $\frac{6 - x}{x - 3} \geq 0$ 的解集为 $A$ ，函数 $f (x) = lg (x^{2} - 2 x + a)$ 的定义域为 $B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求 $a$ 的范围.

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20、已知 $x > 1$ ， $y > 1$ ， $z > 1$ ，且满足 ${l o g}_{x} 10 + {l o g}_{y} 10 = {l o g}_{x y} 10 + {l o g}_{z} 10 = 1$ ，则 $z$ 的最大值为.

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