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相关试卷

1、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，将 $C_{1}$ 绕原点 $O$ 沿逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 得到椭圆 $C_{2}$ ，将 $C_{1}$ 上所有点的横坐标沿着 $x$ 轴方向、纵坐标沿着 $y$ 轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆 $C_{3}$ ，动点 $P$ ， $Q$ 在 $C_{1}$ 上且直线 $P Q$ 的斜率为 $- \frac{1}{2}$ ，则（）

A、顺次连接 $C_{1}, C_{2}$ 的四个焦点构成一个正方形 B、 $C_{3}$ 的面积为 $C_{1}$ 的4倍 C、 $C_{3}$ 的方程为 $\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{4 y^{2}}{5} = 1$ D、线段 $P Q$ 的中点 $R$ 始终在直线 $y = \frac{10}{9} x$ 上

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2、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为8， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $M$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A D$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $E F$ 与 $M B$ 为异面直线 B、向量 $\vec{E M}$ 在向量 $\vec{F G}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{F G}$ C、若 $Q$ 为 $C A_{1}$ 上靠近点 $A_{1}$ 的四等分点，则4 $\vec{A Q} = \vec{A B} + \vec{A D} + 3 \vec{A A_{1}}$ D、线段 $C D$ 上存在点 $P$ ，使得 $E F$ $/ /$ 平面 $P G M$

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3、函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、 $x = - \frac{π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递增

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4、在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥 $A - B C D$ ，该三棱锥为鳖臑， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 为半圆柱的圆心，半径为2， $B D = 4$ ， $∠ A O_{2} C = 60^{\circ}$ ，动点 $Q$ 在 $△ A C D$ 内运动（含边界），且满足 $B Q = \sqrt{10}$ ，则点 $Q$ 的轨迹长度为（）

A、 $\sqrt{2} π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $2 \sqrt{2} π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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5、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 4, A B = 2, E$ 是棱 $P D$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{8}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5 \sqrt{6}}{24}$

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6、已知方程 $\frac{x^{2}}{2 + m} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ 表示双曲线，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (- 1, + \infty)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$

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7、长轴长是短轴长的 $3$ 倍，且经过点 $P (3, 0)$ 的椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{81} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{9} + x^{2} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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8、已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则| $\overset{⃑}{O B}$ |＝（　　）

A、 $\sqrt{34}$ B、 $\sqrt{41}$ C、5 D、5 $\sqrt{2}$

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9、直线 $x + y - 12 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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10、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a \cdot 2^{- x}}{2}$ ，偶函数 $g (x) = \frac{2^{x} + b \cdot 2^{- x}}{2}$ ， $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}, a, b \in R$ .

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、判断 $h (x)$ 的奇偶性，判断并用定义法证明 $h (x)$ 的单调性；

(3)、已知 $h (k x^{2} + x) < \frac{3}{5}$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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11、已知 $a, b \in R$ ，则 $a^{4} > b^{4}$ 是 $a > |b|$ 的（）

A、充分不必要条件 B、充分必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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12、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + a, x \leq 2 \\ x^{2 - a}, x > 2 \end{array}$ 是 $R$ 上的单调函数，则 $a$ 的一个可能取值是（）

A、 $- 2$ B、2 C、3 D、5

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13、如图， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A B // C D, P Q // C D$ ， $A D = C D = D P = 2 P Q = 2 A B = 2$ ，点 $E, F, M$ 分别为 $A P, C D, B Q$ 的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面 $C P M$ ；

(2)、求平面 $Q P M$ 与平面 $C P M$ 夹角的正弦值；

(3)、若 $N$ 为线段 $C Q$ 上的点，且直线 $D N$ 与平面 $Q P M$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，求 $N$ 到平面 $C P M$ 的距离.

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14、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ，点 $E$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $\vec{C C_{1}} = 4 \vec{C E}$ ，点 $F$ 为 $B D$ 中点.

(1)、求点 $D_{1}$ 到直线 $E F$ 的距离；

(2)、求证： $A_{1} C ⊥$ 面 $B D E$ .

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15、若将任意平面向量 $\vec{E F} = (x, y)$ 绕其起点E沿逆时针方向旋转 $α$ 角，得到向量 $\vec{E K} = (x cos a - y sin α, x sin a + y cos α)$ ，则称点F绕点E逆时针方向旋转 $α$ 角得到点 $K .$ 曲线 $7 x^{2} + 7 y^{2} + 2 x y = 96$ 是由椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 在平面直角坐标系中绕原点O逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 所得的斜椭圆 $Ω .$

(1)、求椭圆C的标准方程.

(2)、已知M，N是椭圆C长轴的两个顶点，P，Q为椭圆C上异于M，N且关于y轴对称的两点.若直线MP与直线NQ交于点T，证明点T在某定曲线上，并求出该曲线的方程.

(3)、过椭圆C的上焦点作平行于x轴的直线m，交椭圆C于A，B两点，D是抛物线 $Γ : y = \frac{2}{9} x^{2}$ 上不同于点A，B的动点.若直线DA与椭圆C的另一个交点为G，直线DB与椭圆C的另一个交点为H，试问直线HG是否过定点?若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由.

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16、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是正方形， $A B = 3 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 6$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D .$

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1} .$

(2)、求直线 $D D_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

(3)、棱BC上是否存在一点P，使得二面角 $P - A D_{1} - D$ 的余弦值为 $\frac{2}{11} ?$ 若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由.

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，且过点 $(4, 1) .$

(1)、求双曲线C的方程.

(2)、过双曲线C的右焦点F作斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求 $| A B | .$

(3)、若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为 $\frac{1}{4}$ ，线段MN的中点为P，证明：点P在直线 $x - 2 y = 0$ 上.

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18、已知直线 $l : m x + y - 6 m = 0$ ，圆 $M : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9.$

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，求直线l截圆M所得的弦长；

(2)、已知直线l过定点 $P .$ 若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.

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19、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} \sin A - \cos A = 2$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值

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20、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 且斜率为2的直线与 $C$ 的一条渐近线在第四象限相交于点 $M$ ，四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 为平行四边形.若直线 $N F_{2}$ 的斜率 $k \in [- \frac{6}{7}, - \frac{2}{3}]$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围为.

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