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相关试卷

1、在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.
男生
女生
合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐
10
合计
100

(1)、将上面的列联表补充完整，并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；

(2)、该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为 $\frac{4}{5}$ ；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求甲同学星期四选择②号套餐的概率.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和等比数列 $\{b_{n}\}$ ， $a_{n} = 1 + \frac{1}{2 n - 9}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 的最大项和最小项分别是 $\{b_{n}\}$ 中的 $b_{2} - 1$ 和 $b_{3} - 9$ 的值．

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} - 1} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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3、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\ln x|, 0 < x \leq e \\ 2 - \ln x, x > e \end{array}$ ，若 $a, b, c$ 互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + \frac{e^{2}}{c}$ 的范围是．

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4、已知 $2 a + b = 1 (a > 0, b > 0)$ ，则 $\frac{3}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为．

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5、如图，边长为1的正方形 $A B C D$ 所在平面与正方形 $A B E F$ 在平面互相垂直，动点 $M, N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $\exists a \in (0, \sqrt{2})$ ，使 $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{C E}$ B、线段 $M N$ 存在最小值，最小值为 $\frac{2}{3}$ C、直线 $M N$ 与平面 $A B E F$ 所成的角恒为45° D、 $\forall a \in (0, \sqrt{2})$ ，都存在过 $M N$ 且与平面 $B E C$ 平行的平面

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6、造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于 $- 1$ ，到点 $F (1, 0)$ 的距离与到定直线 $x = a (a < 0)$ 的距离之积为1，则（）

A、 $a = - 1$ B、点 $(\sqrt{2}, 0)$ 在C上 C、C在第一象限点的纵坐标的可以为 $\frac{1}{2}$ D、当点 $(x_{0}, y_{0})$ 在C上时， $y_{0}^{2} > \frac{1}{{(x_{0} + 1)}^{2}}$

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7、沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的 $\frac{7}{16}$ ，则沙子堆积成的圆台的高（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、60° B、30° C、135° D、45°

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9、已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $a x^{2} - a x + 1 > 0$ ； $q$ ： $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + a = 0$ .均为真命题，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $[0, 4)$ C、 $(0, \frac{1}{4}]$ D、 $[0, \frac{1}{4}]$

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10、已知复数 $z = \frac{1 - i}{2 + i}$ ，则 $\bar{z}$ 表示的点所在象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、已知集合 $M = {x | \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0}, Q = {x \in N | | x | \leq 2}$ ，则 $M \cap Q =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 $[0, 1]$ C、 $(- 2, 1]$ D、 ${0, 1}$

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12、函数 $y = \frac{\ln | x |}{x^{2} + 2}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P, Q$ 分别是椭圆的右顶点和上顶点， $△ P O Q$ 的边 $P Q$ 上的中线长为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过点 $H (- 2, 0)$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $A F_{1} ⊥ B F_{1}$ ，求直线 $A B$ 的方程；

(3)、直线 $l_{1}, l_{2}$ 过右焦点 $F_{2}$ ，且它们的斜率乘积为 $- \frac{1}{2}$ ，设 $l_{1}, l_{2}$ 分别与椭圆交于点 $C, D$ 和 $E, F$ ．若 $M, N$ 分别是线段 $C D$ 和 $E F$ 的中点，求 $△ O M N$ 面积的最大值．

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14、如图，在棱长为 $a$ 的正方体 $O A B C - O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ ．

(1)、求证： $A^{'} F ⊥ C^{'} E$ ；

(2)、当三棱锥 $B^{'} - B E F$ 的体积取得最大值时，求平面 $B^{'} E F$ 与平面 $B E F$ 的夹角的正切值．

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15、已知圆 $C$ 的圆心在 $y$ 轴上，且经过点 $A (2, 0)$ ， $B (1, 3)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若圆 $C$ 上存在一点 $P$ 满足 $△ A B P$ 的面积为5，求直线 $B P$ 的方程．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b (1 - \cos A) = \sqrt{3} a \sin B$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，求线段 $A D$ 的长．

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17、“山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行.开幕式期间，湖南卫视全程直播.学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：分钟），将其按照 $[30, 50)$ ， $[50, 70)$ ， $[70, 90)$ ， $[90, 110)$ ， $[110, 130)$ ， $[130, 150]$ 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：

(1)、求 $a$ 的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为 $[50, 70)$ 和 $[70, 90)$ 的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在 $[50, 70)$ 内的概率.

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18、设 $F$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点， $O$ 为坐标原点，过 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $H$ ，若 $△ F O H$ 的内切圆与 $x$ 轴切于点 $B$ ，且 $\vec{B F} = \vec{O B}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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19、已知点 $M (1, - 2), N (0, - 2), P$ 是直线 $l : x + 2 y - 2 = 0$ 上一点，则 $|P M| + |P N|$ 的最小值为．

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20、过点P(0，1)作直线l，使它被直线l₁：2x＋y－8＝0和l₂：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为．

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	男生	女生	合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐	10
合计			100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828