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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - x \ln x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f^{'} (x)$ 存在两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，证明： $x_{1} + x_{2} > 1$ ．

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2、心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图 $2$ 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 $x$ 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）

A、 $y = |x| \sqrt{4 - x^{2}}$ B、 $y = x \sqrt{4 - x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 |x|}$ D、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$

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3、已知点 $P$ 和非零实数 $λ$ ，若两条不同的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 均过点 $P$ ，且斜率之积为 $λ$ ，则称直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 是一组“ $P_{λ}$ 共轭线对”，如直线 $l_{1} : y = 2 x$ 和 $l_{2} : y = - \frac{1}{2} x$ 是一组“ $O_{- 1}$ 共轭线对”，其中 $O$ 是坐标原点.
（1）已知 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 是一组“ $O_{- 3}$ 共轭线对”，且知直线 $l_{1} : y = 2 x$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；
（2）如图，已知点 $A (0, 1)$ 、点 $B (- 1, 0)$ 和点 $C (1, 0)$ 分别是三条倾斜角为锐角的直线 $P Q$ 、 $Q R$ 、 $R P$ 上的点（ $A$ 、 $B$ 、 $C$ 与 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 均不重合），且直线 $P R$ 、 $P Q$ 是“ $P_{1}$ 共轭线对”，直线 $Q P$ 、 $Q R$ 是“ $Q_{4}$ 共轭线对”，直线 $R P$ 、 $R Q$ 是“ $R_{9}$ 共轭线对”，求点 $P$ 的坐标；
（3）已知点 $Q (- 1, - \sqrt{2})$ ，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 是“ $Q_{- 2}$ 共轭线对”，当 $l_{1}$ 的斜率变化时，求原点 $O$ 到直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离之积的取值范围.

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4、在平面直角坐标系中，圆C过点 $A (4, 0), B (2, 2)$ ，且圆心C在 $x + y - 2 = 0$ 上．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为 $(5, 0)$ ，求直线DE的中点M的轨迹方程．

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5、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆上一点 $P$ 满足 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，则线段 $|P F_{2}| =$ ．

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6、已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，则（）

A、若 $m = n = 4$ ，则曲线C是圆，其半径为2 B、若 $m > n > 0$ ，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上 C、若线C过点 $(- \sqrt{2}, \sqrt{3}), (- \frac{\sqrt{15}}{3}, \sqrt{2})$ ，则C是双曲线 D、若 $m n = 0$ ，则曲线C不表示任何图形

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7、现定义：对于一个函数，如果自变量 $x$ 与函数值 $y$ ，满足：若 $m \leq x \leq n$ ，则 $m \leq y \leq n$ （ $m$ ， $n$ 为实数），我们称这个函数在 $m \to n$ 上是同步函数.比如：函数 $y = - x + 1$ 在 $- 1 \to 2$ 上是同步函数.理由： $∵ - 1 \leq x \leq 2$ ， $x = 1 - y$ ， $∴ - 1 \leq 1 - y \leq 2$ ，得 $- 1 \leq y \leq 2$ ， $∴ y = - x + 1$ 在 $- 1 \to 2$ 上是同步函数.

(1)、若函数 $y = - x + b$ 在 $2 \to 4$ 上是同步函数，求 $b$ 的值；

(2)、已知反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 在 $m \to n$ 上是同步函数，求 $m n$ 的值；

(3)、若抛物线 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a > 0, a + b > 0)$ 在 $1 \to 3$ 上是同步函数，且在 $1 \leq x \leq 3$ 上的最小值为 $4 a$ ，求 $\frac{y}{x}$ 的最小值.

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8、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，如 $[3.2] = 3$ ， $[- 1.6] = - 2$ .若 $f (x) = x - [x]$ ， $g (x) = \frac{[x + 1]}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[0, 1)$ B、 $f (x + 1) - f (x) = 1$ C、当 $2024 \leq x < 2025$ 时， $g (x) = \frac{2025}{x}$ D、函数 $g (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递减

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9、已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ ，则正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, + \infty)$ B、 $f (x + 1) > 1$ 的解集为 $(- 2, + \infty)$ C、 $f (x)$ 的图象与 $g (x) = 2^{x} - 1$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、若关于 $x$ 的方程 $|f (x)| = a$ 有且仅有一实根，则 $a > 1$

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10、今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为 $a, b$ ，设物体的真实质量为G，则（）

A、 $\frac{a + b}{2} = G$ B、 $\frac{a + b}{2} < G$ C、 $\frac{a + b}{2} > G$ D、 $\sqrt{a b} < G$

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求关于x的不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、求关于x的不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(3)、若 $f (x) + 2 x \geq 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上恒成立，求实数a的范围.

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12、函数 $f (x)$ 是 $[0, + \infty)$ 上是减函数，那么下述式子中正确的是（）

A、 $f (1) \geq f (a^{2} + 2 a + 2)$ B、 $f (1) \leq f (a^{2} + 2 a + 2)$ C、 $f (1) = f (a^{2} + 2 a + 2)$ D、以上关系均不确定

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13、若 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 1 (a > 0)$ 在 $[m, n]$ 上的值域是 $[m, n]$ 的子集，则称函数 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是封闭的.

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是封闭的，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[0, t]$ 上是封闭的，求实数 $t$ 的最大值.

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14、函数 $f (x) = ({log}_{2} x - 4) ({log}_{4} x - \frac{1}{2})$ .

(1)、当 $x \in [1, 4]$ 时，求该函数的值域；

(2)、若 $f (x) > m {log}_{2} x$ 对于 $x \in [1, 4]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{1 + a \cdot 2^{x}}$ ，若 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数.

(1)、求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义加以证明.

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16、求下列式子的值：

(1)、 $\sqrt{\frac{25}{9}} - {(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}} - {(π + e)}^{0} + {(\frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $\lg 25 + 2 \lg 2 - \log_{3} 16 \cdot \log_{4} 3 + e^{\ln 3}$ ．

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17、设集合 $A = \{x ∣ - 3 \leq x \leq 4\}, B = \{x ∣ m - 1 \leq x \leq 3 m - 2\}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x |x - a|, x \leq 1 \\ 2^{x - 1}, x > 1 \end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的值为.

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19、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{3}, 2)$ ，那么关于 $x$ 的不等式 $2 x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为.

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20、函数 $f (x) = 2 \log_{a} (x - 1) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点P，则点P的坐标为

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